Université de Rennes 1 - UFR Mathématiques L3 Mathématiques 2009-2010  ALBI

Feuille d'exercices sur les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques

 1 1 1 Soit b la forme bilinéaire symétrique sur R3 de matrice  1 2 3 . Quel est le noyau de b, le rang de b ? 1 3 5 Trouvez une base de l'orthogonal pour b de         1 0 1 1 F = Vec  0  ,  0  , de G = Vec  1  ,  0  . 1 0 1 0
Comparer avec les résultats du cours sur la dimension de l'orthogonal.

Exercice 1



Exercice 2
Soit R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2 à coecients réels. Calculer la matrice dans la base (1, X, X 2 ) de la forme bilinéaire symétrique
1

(P, Q) −→
0

P (t) Q(t) dt .

Est-ce que cette forme bilinéaire symétrique est dégénérée ? Quel est son noyau ? Mêmes questions pour la forme bilinéaire symétrique

(P, Q) −→ P (0) Q(0) + P (1) Q(1) .

Exercice 3
Quelle est la matrice de la forme quadratique (x, y, z) → y 2 − 2xz dans la base canonique de R3 ? Quelle est sa matrice dans la base e1 = (1, 1, 0), e2 = (0, 1, 1), e3 = (1, 1, 1) ?

Exercice 4
Soit q une forme quadratique sur l'espace vectoriel E . Pour x, y dans E , quelle relation y a-t-il entre q(x + y) + q(x − y) et q(x) + q(y) ?

Exercice 5
Décomposez en carrés la forme quadratique (x, y, z) → xy + yz + zx sur R3 . Quelle est sa signature ? Trouver une base orthogonale de R3 pour cette forme quadratique.

Exercice 6
Soit q la forme quadratique sur R3 dénie par

q(x1 , x2 , x3 ) = x2 + 3x2 − 8x2 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 10x2 x3 . 1 2 3
Déterminer le noyau de q . Montrer que l'ensemble des vecteurs x ∈ R3 tels que q(x) = 0 est la réunion de deux plans vectoriels dont on donnera des équations. Calculer l'orthogonal du vecteur (1, 1, 1) pour q . Quelle est la signature de q ?

1

Exercice 7
Posons

 5 4 3 A= 4 5 3  3 3 2



et

 9 0 −6 B= 0 1 0  . −6 0 4



Montrer qu'il existe une matrice inversible P ∈ GL3 (R) telle que B = t P