Exercices corrig´s pour le cours e de Licence de Math´matiques e Int´gration 1 e

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INTEGRATION, Feuille d’exercices 1 Exercice 1.1. Soit f : X → Y une application. a. Montrer que pour toute famille (Bi )i∈I de parties de Y , f −1 ( i∈I Bi ) = i∈I f −1 (Bi ),

f −1 ( i∈I Bi ) = i∈I f −1 (Bi ).

b. Montrer que pour toute famille (Ai )i∈I de parties de X, f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai ). c. Montrer que si f est injective, f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai ). Montrer par un contre-exemple que l’´galit´ pr´c´dente est fausse en g´n´ral. e e e e e e Corrig´. a. L’assertion x ∈ f −1 ( e i∈I Bi ) signifie f (x) ∈

i∈I

Bi qui ´quivaut a e `

∃i ∈ I, f (x) ∈ Bi ⇐⇒ ∃i ∈ I, x ∈ f −1 (Bi ) ⇐⇒ x ∈ ∪i∈I f −1 (Bi ). De mˆme, x ∈ f −1 ( e i∈I Bi ) signifie f (x) ∈

i∈I

Bi , qui ´quivaut a e `

∀i ∈ I, f (x) ∈ Bi ⇐⇒ ∀i ∈ I, x ∈ f −1 (Bi ) ⇐⇒ x ∈ ∩i∈I f −1 (Bi ). b. L’assertion y ∈ f ( i∈I Ai ) signifie ∃x ∈ ∪i∈I Ai tel que y = f (x), i.e.

∃i ∈ I, ∃x ∈ Ai , y = f (x) ⇐⇒ ∃i ∈ I, y ∈ f (Ai ) ⇐⇒ y ∈ ∪i∈I f (Ai ). c. Remarquons que A ⊂ A ⊂ X =⇒ f (A) ⊂ f (A ). Pour tout j ∈ I, on a donc f ( i∈I Ai ) ⊂ f (Aj ) et par suite f ( i∈I Ai ) ⊂ i∈I f (Ai ). Si y ∈ i∈I f (Ai ), alors ∀i ∈ I, ∃xi ∈ Ai , y = f (xi ),

e e ce qui implique que pour i, j ∈ I, f (xi ) = f (xj ). L’injectivit´ de f donne par cons´quent e pour i, j ∈ I, xi = xj , et donc y = f (x) avec x ∈ ∩i∈I Ai , qed. Consid´rons l’application f : {0, 1} −→ {1}, f (0) = f (1) = 1,

et posons Ai = {i}. On a f (A0 ∩ A1 ) = f (∅) = ∅ f (A0 ) ∩ f (A1 ) = {1}. Commentaire. On peut remarquer que, r´ciproquement, si la propri´t´ est v´rifi´e, alors f e ee e e est injective. En effet si x1 = x2 sont ´l´ments de X, comme ee ∅ = f (∅) = f ({x1 } ∩ {x2 }) = f ({x1 }) ∩ f ({x2 }) = {f (x1 )} ∩ {f (x2 )} on obtient f (x1 ) = f (x2 ).

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Exercice 1.2. Soit X un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas de surjection de X sur l’ensemble de ses parties P(X). On pourra raisonner par l’absurde et consid´rer