Filo

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 5 (1046 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 12 janvier 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Sujet 1 ( BAC S )

Exercice 1 : (Probabilités conditionnelles)

Un gardien de but doit faire face, lors d’une démonstration, à un certain nombre de tirs directs.Les expériences précédentes conduisent à penser que :

- S’il a arrêté le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant (le (n+1)-ième) est 0,8 ;
- S’il a laissé passer le n-ième tir, la probabilité pour qu’ilarrête le suivant est 0,6 ;
- La probabilité pour qu’il arrête le premier tir est 0,7.

Dans tout l’exercice, si E est un événement, on note P(E) la probabilité de E, [pic] l’événement contraire de E.On note P(E/F) la probabilité conditionnelle de l’événement E sachant que F est réalisé.An est l’événement « le gardien arrête le n-ième tir ».On a donc P(A1) = 0,7 .

1)a) Donner pour n[pic] 1, les valeurs de P(An+1/An) et P(An+1/[pic])

b) Exprimer P(An+1[pic]An) et P(An+1[pic][pic]) en fonction de P(An) .
c) En déduire que, pour tout entier strictement positif n, on a :

P(An+1) = 0,2P(An) + 0,6 .

2) On pose à présent, pour n [pic] 1 , pn = P(An)
et un = pn – 0,75 .

a) Démontrer que (un) est une suite géométrique de raison 0,2 .
b) Endéduire une expression de pn en fonction de n.
c) Montrer que (pn) admet une limite que l’on calculera.

Exercice 2 : (obligatoire) (complexes)

1) On considère le polynôme P défini par :

P(z) = z3 – 6z2 + 12z – 16 .
a) Calculer P(4).
b) Résoudre dans [pic] l’équation :
P(z) = 0.
2) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct(O,[pic],[pic]) tel que :

||[pic]|| = ||[pic]|| = 2cm .
Soient A, B et C les points d’affixes respectives : a = 4 ,b = 1 + i[pic] , c = 1 - i[pic] .

a) Placer les points A, B, C sur une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.
b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

3) Soit K le point d’affixe k = -[pic] + i .

On appelle F l’image de K par la rotation de centre O etd’angle de mesure [pic] et G l’image de K par la translation de vecteur [pic] .

a) Quelles sont les affixes respectives de F et G ?
b) Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires .

4) Soit H le quatrième sommet du parallèlogramme COFH .

a) Montrer que le quadrilatère COFH est un carré .
b) Calculer l’affixe du point H.
c) Le triangle AGH est-iléquilatéral ?

Exercice 2 (Spécialité)

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O,[pic],[pic]) .
On considère l’application f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point
M ’ d’affixe : z’ = [pic] iz + [pic].
1) Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre ( ,le rapport k et l’angle ( .

2) Soit M0 le point d’affixe 1 +4[pic] + 3i .Pour tout entier naturel n, le point Mn+1 est défini par Mn+1 = f(Mn)

a) En utilisant la 1ère question, calculer (Mn en fonction de n .
b) Placer le point M0 et construire les points M1, M2, M3 et M4 .
c) A partir de quel rang n0 a-t-on : « Pour tout n[pic]n0, Mn appartient au disque de centre ( et de rayon r = 0,05 » ?

3) a) Calculer M0M1.b) Pour tout entier naturel n, on note dn = MnMn+1 .
Montrer que (dn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison .

c) On note ln = d0 + d1 + d2 + … + dn .Calculer ln en fonction de n et en déduire la limite de ln en +[pic].

4) Pour tout entier naturel n non-nul, on note Gn l’isobarycentre des points M0,M1, … ,Mn .
a)Montrer que pour tout n> 0 , (Gn [pic] [pic]

b) En déduire la position limite du point Gn quand n [pic]

Problème :

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

La fonction d est définie sur ] –1 ; +[pic][ par :

d(x) = e x / (x+1) .

a. Calculer la fonction dérivée d’ . En déduire les variations de d .
b. Déterminer les limites de d en –1 et en +[pic] .
c. Montrer que,...
tracking img