Sujet 1 ( BAC S )

Exercice 1 : (Probabilités conditionnelles)

Un gardien de but doit faire face, lors d’une démonstration, à un certain nombre de tirs directs.Les expériences précédentes conduisent à penser que :

- S’il a arrêté le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant (le (n+1)-ième) est 0,8 ; - S’il a laissé passer le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant est 0,6 ; - La probabilité pour qu’il arrête le premier tir est 0,7.

Dans tout l’exercice, si E est un événement, on note P(E) la probabilité de E, [pic] l’événement contraire de E.On note P(E/F) la probabilité conditionnelle de l’événement E sachant que F est réalisé.An est l’événement « le gardien arrête le n-ième tir ».On a donc P(A1) = 0,7 .

1)a) Donner pour n [pic] 1, les valeurs de P(An+1/An) et P(An+1/[pic])

b) Exprimer P(An+1[pic]An) et P(An+1[pic][pic]) en fonction de P(An) . c) En déduire que, pour tout entier strictement positif n, on a :

P(An+1) = 0,2P(An) + 0,6 .

2) On pose à présent, pour n [pic] 1 , pn = P(An) et un = pn – 0,75 .

a) Démontrer que (un) est une suite géométrique de raison 0,2 . b) En déduire une expression de pn en fonction de n. c) Montrer que (pn) admet une limite que l’on calculera.

Exercice 2 : (obligatoire) (complexes)

1) On considère le polynôme P défini par :

P(z) = z3 – 6z2 + 12z – 16 . a) Calculer P(4). b) Résoudre dans [pic] l’équation : P(z) = 0.
2) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
(O,[pic],[pic]) tel que :

||[pic]|| = ||[pic]|| = 2cm .
Soient A, B et C les points d’affixes respectives : a = 4 ,b = 1 + i[pic] , c = 1 - i[pic] .

a) Placer les points A, B, C sur une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice. b) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

3) Soit K le point d’affixe k = -[pic] + i .

On appelle F l’image de K par la rotation de centre O et