Première S
Exercice 1

Devoir commun n°5

Vendredi 5 avril 2013

(6 points)

ABCD est un rectangle ; I est le milieu du segment [CD]. Les segments [AI] et [BD] se coupent au point E . On note  une mesure en degrés de l'angle ̂ .
IEB

Première partie : sans utilisation d'un repère.
Dans cette partie, on pose AB= 4 cm et AD = 3 cm.
1. Calculer le produit scalaire ⃗ ⃗ en décomposant chaque vecteur à l'aide de la relation de Chasles.
AI⋅DB
2. Calculer les distances AI et DB.
3. En déduire cos() ; puis une valeur approchée à 1° près de l'angle ̂ .
IEB

Deuxième partie : avec un repère
Dans cette partie, on pose AB= a cm et AD= b cm, a et b désignant des réels strictement positifs. i j)
AB=a i
AD=b j
On choisit le repère orthonormé (A ; ⃗ , ⃗ tel que ⃗ ⃗ et ⃗ ⃗ .
1. Donner les coordonnées des points A, B, C, D et I dans ce repère.
AI⋅DB
2. Calculer le produit scalaire ⃗ ⃗ en fonction de a et b.
AI⋅DB
3. Application numérique : calculer ⃗ ⃗ pour a=4 et b=3 . Était-ce prévisible?
4. Existe-t-il des valeurs de a et b telles que α=90° ? Si oui, lesquelles?

Exercice 2

(4 points)

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC= 4 cm.
CAE=30° .
Soit E le point de [BC] tel que ̂
On note H et K les projetés orthogonaux respectifs de C et B sur la droite (AE).
1. Déterminer, en justifiant les différentes étapes, les produits scalaires ⃗ ⃗ ; ⃗ ⃗ .
AB⋅AC
BC⋅BA
2. Calculer AH.
3. Déterminer, en justifiant les différentes étapes, les produits scalaires ⃗ ⃗ ; ⃗ ⃗ .
AB⋅AH
KB⋅HC

Exercice 3

(4 points)

Première partie
Soient A et B deux points du plan et I le milieu du segment [AB].
Soit M un point quelconque du plan.
MA
1. Décomposer les vecteurs ⃗ et ⃗ à l'aide du point I.
MB
2
2
2 1
2
2. Démontrer que ⃗ +⃗ =2 ⃗ + ⃗ .
MA MB
MI
AB
2

Deuxième partie : application
ABCD est un rectangle de centre O et M un point placé à l'intérieur du rectangle.
2
2
2
2
1. Déduire de la première partie une