CORRIGE DU TD z −1=z −1 z  z1
3 2

Ex1 : a) l' équation donc

2 3 j  j =1 ) j= b) Q  z = z 4 z 21=0⇔ Z = j ou Z = j 2 en posant Z = z 2 d'où z 2 = j=  2 ou bien j 2 2 j j z = j .Donc les solutions de Q(z)=0 sont { j ,− j ,  ,− } .

z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2

=1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4

Q z = z− j z j z−  z  j j
En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré à coefficients réels .

Q z = z − j z −  z  j z  n= z 2z 1 z 2−z 1 j j
Ex 2 Montrer que l'équation : P  z= z 31−i  z 24−i  z− 4i=0 a une solution imaginaire pure ib avec b ∈ℝ . En déduire une factorisation de P(z) et les solutions de l'équation P(z)=0 . En remplaçant z par ib dans l'équation on trouve 3 2 2 3 2 P  z=−i b −1i b 4i1b−4i=−b bi−b b  4b− 4=0 d'où , comme b est réel le système : b 2 1−b=0 et −b 3b 24 b−4=0 la seule solution est b=1 donc i est racine de P .

P  z = z−i z 2 bz4 en identifiant b = 1 ; on résout z 2 z4=0 −1−i  15 −1i  15 racines de P sont donc i ; 2 2
Ex3 Si Soit

=1−16=−15 les

P  z =∑ a k z k avec pour tout k a k ∈ℝ k =0

n

P  z 0 =0

alors d'une part son conjugué est nul et ce conjugué vaut

∑ a k  z 0 k=0  k =0

n

d'après les propriétés

de la conjugaison et du fait que Remarque :

a k ∈ℝ . Donc z 0 est racine de P . 

1) c'est ce qui s'est passé pour le polynôme Q de l'ex 1 2) par contre pour l'ex 2 : i est racine de P mais pas -i les coefficients ne sont pas tous réels

Application : 1) 1+i est racine de R  z = z 4−6z 3  z 210z −18 on remplace et on fait le calcul . Comme R est à coefficients réels 1-i est aussi racine . R(z) se factorise par  z−1−i z −1i= z 2−2z2 et on trouve :

R z = z 2−2z2 z 2−4z−9 .
Les racines de 2  13 et z −4z −9 2−  13
2

sont réelles

=1636=52=4×13

et l'équation R(z)=0 a