Mathematique

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Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536 Éric Brunelle et Dominique Goyette

Table des matières
Introduction Chapitre 1. Quelques rappels 1. Les ensembles 2. Arithmétique sur les nombres réels 3. Les polynômes Chapitre 2. Équations et inéquations 1. Les équations 2. Les fractions algébriques 3. Intervalles et inéquations Chapitre 3. Étude graphique de fonctionsIntroduction 1. Éléments de l’étude des fonctions 2. Opérations sur les fonctions 3. Rôle des paramètres a, b, h et k Chapitre 4. La droite 1. La fonction constante 2. La fonction linéaire 3. Relations entre deux droites 4. Modélisation 5. Les distances Chapitre 5. La parabole 1. La parabole de base 2. La fonction transformée 3. Recherche de la règle 4. Résolution d’équations ayant une fonction du seconddegré 5. Résolution d’inéquations ayant une parabole 6. Modélisation et mises en situation Chapitre 6. Fonctions particulières 1. Fonction rationnelle 2. Fonction racine carrée 3. Fonctions définies par parties 4. Fonction valeur absolue
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1 3 3 10 14 23 23 29 34 39 39 39 50 54 63 63 64 68 72 74 79 79 80 87 89 91 93 95 95 100 108 110

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TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 7. Les fonctionsexponentielles et logarithmiques 1. Les exponentielles 2. Les logarithmes 3. Modélisation Chapitre 8. Les fonctions trigonométriques 1. Le cercle trigonométrique 2. Les fonctions trigonométriques 3. Les fonctions sécante, cosécante et cotangente 4. Identités trigonométriques Solutions

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Introduction
Le cours de mise à niveau 536 porte sur l’analyse graphiqueet algébrique de certaines fonctions communes. Le but de ce cours est d’acquérir une base solide dans les manipulations algébriques ainsi qu’à visualiser certaines fonctions. Ces notions sont fondamentales pour des études supérieures notamment au niveau collégial. Le premier chapitre se veut une révision de la notion d’ensemble et des manipulations algébriques. Ce dernier aspect est trèsimportant pour le reste du cours. Le chapitre 2 est également un rappel sur la résolution d’équations et d’inéquations. Le chapitre 3 se veut un chapitre de définitions où l’on apprend à analyser une fonction en huit points. Pour ce faire, on s’arrête sur l’étude des fonctions qui sont représentées graphiquement. Les autres chapitres portes sur l’études de fonctions particulières : la droite, la parabole,les fonctions définies par parties, les fonctions racines carrées, valeurs absolue, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques. Dans chaque cas, on voit comment résoudre certains types d’équations et d’inéquations. À la fin de chaque partie importante, il y a une série d’exercices permettant de maîtriser les différentes notions. Les solutions sont fournies à la fin, mais non la démarche (quiest la partie la plus importante). Certains exercices possèdent le symbole ♠ qui indique que l’exercice est un peu plus difficile.

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CHAPITRE 1

Quelques rappels
1. Les ensembles 1.1. Introduction. Les ensembles sont des éléments importants des mathématiques. La compréhension de ceux-ci est essentielle pour faire l’étude des différentes notions de ce cours. Regardons tout d’abord ce qu’estun ensemble. Définition 1.1. Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments ayant ou non une relation entre eux.

Notation
Habituellement, on identifie les ensembles par une lettre majuscule et les éléments d’un ensemble par une minuscule. Par exemple, un élément a est dans l’ensemble A. Cette phrase peut être écrit en mathématique comme suit : a ∈ A, où le symbole ∈ signifie élémentde. Exemple 1.1. Les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, maison} et C = {3, 4}. Ici, 1 ∈ A, maison ∈ B, mais 1 ∈ C, c’est-à-dire que l’élément / 1 n’appartient pas à l’ensemble C. Remarque 1.1. Pour rassembler les éléments d’un ensemble, on les met entre accolades { }. Cependant si le nombre d’éléments d’un ensemble est trop grand, cette notation est très peu utile. Exemple 1.2. Soit l’ensemble...
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