1 ère S 4

Devoir Surveillé n ° 3

Barème : 1 ) 5 pts 2 ) 5 pts 3 ) 8 pts 4 ) 2 pts

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- Durée 2 h - Calculatrices autorisées

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Commentaires : Lisez l’énoncé en entier avant de commencer et répondez bien aux questions qui vous sont demandées. Vous pouvez faire les exercices dans l’ordre que vous souhaitez . La rédaction est importante. Soyez propre et clair . Bonne chance …

FONCTIONS POLYNOMES ET SECOND DEGRE Ex1 : Résoudre les équations ci-dessous : a ) 2 x2 + 4 x – 6 2 = 0 2 est une racine évidente ; le produit des racines est – 6 ; l’autre racine est donc – 3 2 . 1 2 + =3 x – 1 x– 2 Cette équation est définie ssi x ≠ 1 et x ≠ 2 Pour x ≠ 1 et x ≠ 2 , on a : 1 2 + = 3 ⇔ … ⇔ ( x – 2 ) + 2 ( x– 1 ) = 3 ( x 2 – 3 x + 2 ) ⇔ 3 x 2 -12 x + 10 = 0 x– 1 x – 2 6 6 … On obtient S = { 2 – ;2 + } 3 3 b) c ) x 4 – 7 x 2 + 12 = 0 ( E ) On pose X = x 2 Résoudre ( E ) revient à chercher les réels x tels que  … On obtient S = {-2 ; - 3 ; 3 ; 2 } Ex 2 : Soit P le polynôme défini par : P ( x ) = 6x3 + x 2 – 4 x + 1 1 ) On pose Q ( x ) = ( 3 x – 1 ) ( a x 2 + b x + c ) Développer Q ( x ) = 3 a x 3 + x 2 (3 b – a ) + x (3 c – b) – c 2 ) Déterminer a , b et c tels que, pour tout réel x, P ( x ) = Q ( x ) Dire que , pour tout réel x, P ( x ) = Q ( x ) revient à dire que : 3a=6  3b – a = 1 a=2  3c– b =– 4 ⇔  b = 1  c=– 1  –c=1  Ainsi pour tout réelx, on a : P ( x ) = ( 3 x – 1 ) ( 2 x 2 + x –1 ) 3 ) Résoudre l’équation P ( x ) = 0 ( E ) 1 ou 2 x 2 + x –1 = 0 ( E’ ) 3 1 1 – 1 est solution évidente de ( E’ ) ; le produit des solutions est – ; donc l’autre solution est . 2 2 1 1 On en déduit que l’ensemble des solutions de ( E ) est S = { – 1 ; ; } 3 2 P ( x ) = 0 ⇔ ( 3 x – 1 ) ( 2 x 2 + x –1 ) = 0 ⇔ 3 x – 1 = 0 ou 2 x 2 + x –1 = 0 ⇔ x = 4 ) Résoudre l’inéquation P ( x ) ≥ 0
 X = x2 2  x – 7 x + 12 = 0 ( E’ )

x 3x–1 2 x 2 + x –1 P(x)

–∞ – + –

–1 0 0 – – +

1 3 0 0

1 2 + – – 0 0 + + +

+∞ P(x) ≥0 ⇔x∈[ – 1; 1 1 ]