• comparer deux nombres réels grâce à une valeur approchée déterminée à la calculatrice 17 π et (nouvelle étude dans le chapitre prochain). ex 9 98696035 π² et 9999999 • comparer deux nombres en écriture fractionnaire (les mettre par exemple au même 19 7 et dénominateur). ex 11 15 173 259 et 12 18 I- Règles sur les comparaisons Ce qu’on sait déjà : Introduction : Soient a et b deux réels quelconques. Comparer a et b c’est décider si Cela revient à étudier le signe de a – b. En effet a – b > 0 équivaut à a > b a – b < 0 équivaut à a < b a – b = 0 équivaut à a = b Théorème : Soient a, b et c trois réels quelconques. Si a < b et b < c alors a < c dem : Exemple : 10212 442311 < 10213 442310 pour x strictement positif : x+1 x et x+1 x ab a=b

Théorème : (ordre et addition) : Soient a, b, c et d des réels quelconques. • Si a < b alors a + c < b + c (on peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans en changer l’ordre). • Si a < b et c < d alors a + c < b + d (on peut ajouter membre à membre des inégalités de même sens). dem : Attention : on ne peut pas soustraire des inégalités. Théorème : (ordre et multiplication) : Soient a, b et c trois réels quelconques.

Si a < b et dem :

si c > 0 alors ac < bc si c < 0 alors ac > bc

Théorème : Soient a, b, c et d des réels strictement positifs. si a < b et c < d alors ac < bd. (On peut multiplier membre à membre des inégalités de même sens) dem Une utilisation : Majorations, minorations, encadrements Exemples : x < 3 alors 3x – 10 est… x  – 2 alors – 8x + 5 est … 1 < x  3 alors 2x – 5 est Si 3 ≤ x < y ≤ 8 alors que peut-on dire de −2x + 3 et −2y + 3 ?

Autres utilisations : les inéquations, les intervalles (déjà fait)

II- Comparaison des carrés, des racines carrées, des inverses. Théorème : Soient a et b deux réels positifs quelconques. • Si 0  a < b alors a² < b² Le carré et la racine carré ne changent pas l’ordre • Si 0  a < b alors a < b 1 1 le passage aux inverses • Si 0 < a < b alors > >