Planche no 11. Rationnels et réels
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

no 1 : (I) Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. √ √ 1) (**) 2 et plus généralement n m où n est un entier supérieur ou égal à 2 et m est un entier naturel supérieur ou égal à 2, qui n’est pas une puissance n-ième parfaite. 2) (**) log 2. 3) (****) π (Lambert a montré en 1761 que π est irrationnel, Legendre a démontré en 1794 que π2 est irrationnel, Lindemann a démontré en 1882 que π est transcendant). p Pour cela, supposer par l’absurde que π = avec p et q entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Considérer q p/q n x (p − qx)n sin x dx, n ∈ N∗ et montrer que In vérifie alors In = n! 0 a) In est un entier relatif ; b) In > 0 ; qn c) lim In = 0 (on admettra que ∀q ∈ R, lim = 0). n→ +∞ n→ +∞ n! 4) (***) e (Hermite a démontré en 1873 que e est transcendant. C’est historiquement le premier « vrai » nombre dont on a réussi à démontrer la transcendance). n 1 1 (1 − t)n t Pour cela, établir que pour tout entier naturel n, e = + e dt, puis que pour tout entier naturel k! n! 0 n k=0

non nul n, 0 < e − k=0 3 1 < . Raisonner alors par l’absurde. k! (n + 1)!

2π 5) (***) cos( ). Pour cela trouver une équation du troisième degré à coefficients entiers dont les solutions sont 7 4π 6π 2π cos( ), cos( ) et cos( ), puis vérifier que cette équation n’a pas de racine rationnelle (supposer par l’absurde 7 7 7 p qu’il y a une racine rationnelle avec p ∈ Z∗ , q ∈ N∗ et PGCD(p, q) = 1 et montrer que p divise 1 et q divise 8). q (On rappelle le théorème de Gauss : soient a, b et c trois entiers relatifs tous non nuls. Si a divise bc et a et b sont premiers entre eux, alors a divise c). √ √ √ 6) (***) 2 + 3 + 5. no 2 : (**IT) Soient A et B deux parties de R, non vides et bornées. Montrer que sup A, sup B, sup(A + B), inf A, inf B, inf (A + B) existent et que l’on a sup (A + B) = sup A +