MINES ParisTech
MATHÉMATIQUES 1 (1121)
Francis Maisonneuve
RÉSUMÉ n 4

Pb. de Cauchy : existence et unicité de la solution
Systèmes différentiels : réduction à la forme normale
Illustrons sur un exemple le cheminement qui, partant d’un système différentiel quelconque, conduit à un système du premier ordre, si possible de forme normale, ce qui permet de restreindre l’étude à ce seul cas (cf. définitions 3.1.1, 3.1.4, 3.1.5 et proposition 3.1.3).

Un n-système différentiel d’ordre p est constitué de n équations déterminées par n fonctions à valeurs réelles Fj (1  j  n) continues sur un ouvert O de R1+n (p+1) . Dans l’écriture des fonctions Fj , on conserve la première variable et les n + n p autres variables sont formellement remplacées par n fonctions inconnues xi (de cette première variable) et leurs dérivées jusqu’à l’ordre p : début de l’exemple :
8
ef
2
< F (t, x , x , x0 , x0 , x00 , x00 , x000 , x000 ) d´
= t x1 + (x000
1
1 2 1 2 1 2 1
2
2) =0 p (Sn ) ef : F2 (t, x , x , x0 , x0 , x00 , x00 , x000 , x000 ) d´
= x2 x001 + x000
1 2 1 2 1 2 1
2
1 sin t = 0

(n = 2, p = 3)

Une solution de ce système est une fonction ' : I ⇢ R ! Rn de classe C p , I étant un intervalle quelconque, telle que
8
< t ' (t) + ('000 (t))2 = 0
1
2
8 t 2 I , t, '(t), '0 (t), '00 (t), '000 (t) 2 O et
: '2 (t) '00 (t) + '000 (t) sin t = 0
1
1

On se ramène à un système d’ordre 1 en traitant les dérivées jusqu’à l’ordre p 1 comme des fonctions inconnues xi,k (i indice de la fonction initiale et k son ordre de dérivation), et en rajoutant les n (p 1) équations de liaison entre ces fonctions xi,k .
Dans notre exemple, aux deux équations initiales s’ajoutant quatre nouvelles équations liant les
6 fonctions inconnues et leurs dérivées premières :

8
>
t x1,0 + (x02,2 )2 = 0
>
>
>
>
>
> x2,0 x1,2 + x01,2 sin t = 0
>
>
>
>
< x0 x1,1 = 0
1,0
>
> x02,0 x2,1 = 0
>
>
>
>
>
x01,1 x1,2 = 0
>
>
>
>
: x0 x2,2 = 0
2,1

Afin de supprimer la double indexation, on numérote les fonctions inconnues (le nombre