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INTRODUCTION A LA RECHERCHE OPERATIONNELLE

RECUEIL D’EXERCICES

Année académique 2002-2003

Yves CRAMA

Méthode du Simplexe

S1) Ecrivez le problème PL suivant sous forme standard avec des M.d.D. non négatifs:

Max z = 2x1 + 3 x2 + 5 x3

[pic]

Formulez son dual.

S2) Considérons l’ensemble de contraintes suivant:

x1 + 7 x2 + 3x3 + 7 x4 ( 463 x1 - x2 + x3 + 2 x4 ( 8
2 x1 + 3 x2 - x3 + x4 ( 10

Résolvez par la méthode du simplexe le problème obtenu lorsque la fonction objectif est donnée par:

|a) |max z |= | 2x1 |+ x2 |- 3x3 |+ 5x4 |
|b) |max z |= |- 2x1 |+ 6x2 |+ 3x3 |- 2x4 |
|c) |max z |= | 3x1 |- x2|+ 3x3 |+ 4x4 |
|d) |min z |= | 5x1 |- 4x2 |+ 6x3 |+ 8x4 |
|e) |min z |= | 3x1 |+ 6x2 |- 2x3 |+4x4 |

S3) Résolvez le problème suivant par la méthode du simplexe

max z = 5x1 + 4x2 + 3x3

s.c. 2 x1 + 3 x2 + x3 ( 5
4 x1 + x2 + 2 x3[pic] ( 11
3 x1 + 4 x2 + 2 x3 (8
x1, x2, x3 ( 0

S4) Résolvez le problème suivant par simple inspection, puis par la méthode du simplexe

max z = 5 x1 - 6 x2 + 3 x3 - 5 x4 + 12 x5

s.c. [pic]

S5) Résolvez le problème suivant par la méthode du simplexe :
On doit organiser un pont aérien pour transporter 1600 personnes et 90 tonnes de bagages. Les avions disponibles sont dedeux types: 12 du type A et 9 du type B. Le type A peut transporter, à pleine charge, 200 personnes et 6 tonnes de bagages. Le type B, 100 personnes et 6 tonnes de bagages. La location d’un avion du type A coûte 800.000 F; la location d’un avion du type B coûte 200.000 F.

S6) Les dictionnaires ci-dessous ont été obtenus après exécution de quelques itérations de la méthode du simplexe surdifférents problèmes. Quelles conclusions pouvez-vous tirer sur base de l’information contenue dans ces dictionnaires?
Les conclusions possibles sont par exemple:
. la solution courante est optimale, et vaut ...;
. le problème est non borné parce que ...;
. le problème est non réalisable parce que ...;
. la solution courante n’est pas optimale; dans ce cas,calculez la solution optimale.

a) min z

[pic]

b) max z

[pic]

c) max z

s.c. [pic]

Dualité & Sensibilité

DS1) Suite de l’exercice S6a).
Quel est le coût réduit de chacune des variables du problème?

DS2) Suite de l’exercice S3).
a) Si le coefficient de la variable x2 dans lafonction objectif augmentait de 2 unités, quel serait l’effet produit sur la solution optimale et la valeur optimale du problème? Et si cette augmentation était de 4 unités?
b) Quel est le coût réduit de chacune des variables du problème?
c) Quel est le prix dual de chacune des contraintes d’inégalité du problème?

DS3) Considérons le programme linéaire suivant, exprimé sous formestandard:

min z = 2x1 + x2

s.c.[pic]

a) Calculer le dictionnaire associé à la base B définie par les variables de base x1, x2, x5 .

[pic]

b) La solution de base associée à B est-elle réalisable et optimale?

DS4) Soit le problème (P):

max z = 2x1 + 4x2 + 4x3 - 3x4
[pic]

La base optimale de (P)est

[pic]

et son inverse

[pic]

a) Formulez le problème dual de (P).

b) Sur base des informations fournies (et donc, sans utiliser la méthode du simplexe ni la méthode graphique), calculez la solution optimale de (P) et celle de son dual. Expliquez la méthode que vous utilisez.

c) Si la fonction objectif de (P) est remplacée par...
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