Analyse complexe

MP 2011/2012 Chapitre 12 : Séries entières 1 Chapitre 12 – Séries entières 1 1.1 Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les

Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 )

entière en fonction de sa somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Définition de quelques fonctions de la variable complexe . . . . 3 . 6 . 6 . 7 . 7 . 9 . 9 . 9 . 11 . . . . 11 12 12 16 v vi notes de cours Martine Picq Chapitre 7 Séries entières Sommaire 7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Définition . . . . . . . .

d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons linéaires de termes en et , dont on connaît une

La partie II peut ˆtre trait´e ind´pendamment des parties I et III. e e e Partie I +∞ On consid`re la s´rie enti`re e e e n=1 n−s z n de la variable complexe z, o` s est un nombre u r´el donn´. e e I.1 D´terminer le rayon de convergence de cette s´rie enti`re. e e e I.2 Dans cette question, z = eiθ d´signe un nombre complexe de module 1. e +∞ I.2.1 Etudiez la convergence de cas o` s ≤ 0. u n=1 n−s z n dans le cas o` s > 1 ainsi que dans le u +∞ I.2.2 Dans le cas o` 0 <

ouverte. C'est une conséquence à peu près immédiate du théorème des résidus. Démonstration du critère a) Lemme fondamental • Soit F(p) une fonction de la variable complexe p : c'est un nombre complexe dont le module et l'argument sont fonction de p. Si le point d'affixe p décrit une courbe fermée (C) dans le plan complexe, le point d'affixe F(p) décrit un lieu (L) de forme plus ou moins compliquée, et les lieux (C) et (L) se correspondent point par point.      [pic]

en Z. Séance 12 Formule du Jour : La transformée en Z Défnition : Soit un signal discrèt x(n). La transformée en Z (bilatérale) est définie par X(z) = Z{x(n)} = ∞ ∑ x(n) z –n n=–∞ ou z est une variable complexe et où X(z) est un fonction complexe de la variable z. La transformé en z peut être considéré comme une généralisation de la transformation de Fourier à laquelle elle peut s'identifier dans un cas particulier. La transformée en z constitue l’outil privilégie pour

propriétés qui analysent plus finement la régularité de cette fonction : en particulier son ordre de Holder local et son spectre multifractal. Le sujet a pour objet d’établir la dérivabilité de la fonction q au point 1 ; il utilise des outils de l’analyse complexe. Le problème est composé de cinq parties ; les deux premières parties ont pour objectif d’établir la formule (2) qui sera utile dans la cinquième partie. Les trois dernières parties du problème s’enchaînent entre elles. 1ère partie Formule sommatoire

points 1. On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par : P (z) = z 3 + (14 − i 2)z 2 + 74 − 14i 2 z − 74i 2. a. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P (z) = 0. Prendre y = 2. Vérifier que P (i 2) = 0. On peut par exemple mettre P (i y) sous forme algébrique et choisir y pour que les parties réelle et imaginaire s’annulent. b. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait P (z) = (z − i 2)(z 2 + az + b) (z − i 2)(z

dominée donc lim J r   b  f  tbdt et par caractérisation séquentielle de la limite on a: n ,b n 0 r0  i i lim J ,b r  b  f  tbdt  b  tb  exp tb dt  b 1  t  exp tb dt. 0 0 0 1 1 1 1 4 Remarque: même si b est complexe on a encore la formule tb   t  b  en effet: comme t  0 alors tb   explnt|b|  iArgtb  explnt|b|  iArgb  t  expln|b|  iArgb  t  b  . 4.3.1) D’aprés 4.1) on a f   H et d’aprés 4.2) ir, b  J ,b r