Barycentre

Cours sur les barycentres | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |I. Barycentre de deux points pondérés | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Théorème : | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Soient A et B deux points et α et β deux réels. | | | | | | | | | | | | | | | | | |Si α +β≠α β 0, alors il existe un unique point G tel que αGA + βGB=0. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Définition : | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Barycentre I- Barycentre de deux points massifs Si a + b [pic] 0 G est défini par a _GA + b_GB =»£0 1) La relation fondamentale : Pour tout M: (a + b) _MG = a _MA + b _MB M=A [pic] (a + b) _AG = b _AB [pic] _AG = [pic] _AB On en déduit que _AG et _AB sont colinéaires et G appartient à la droite (AB). Propriété : le barycentre de deux points massifs appartient à la droite joignant ces points. 2) Isobarycentre de deux points massifs _GA + _GB =»£0 G = m [AB]

par la suite. 2) Exprimer I et D comme barycentres de A, B et C munis de coefficients que l’on précisera. 3) On appelle G le barycentre de {(A, 2) (B, -1) (C, 2)} . Montrer que G est le point d’intersection de (AD) et (BI). 4) (CG) coupe (AB) en K. Montrer que A est le milieu de [BK] Exercice 2) (9 points) ABC est un triangle, I est le milieu de [AB], J est le milieu de [CI] 1) Faire une figure que l’on complétera par la suite. 2) Exprimer J comme barycentre de A, B, C munis de coefficients que l’on

BARYCENTRE DE 2 POINTS PONDÉRÉS (ET PLUS ...) Motivation : sachant que la balance suivante est en équilibre, quel est le poids M ? 150 kg M=? 6m 2m 1. Barycentre de deux points pondérés : définition Définition 1 En toute rigueur, il faudrait Soient a et b deux réels tels que a + b ¹ 0. au préalable prouver l'existence et l'unicité d'un tel On appelle barycentre de deux points pondérés (A, a) et (B, b) le point G défini par : ® ® ® a GA + b GB = 0 point G. Voir le cours de terminale pour

Barycentre I. Rappels 1) Vecteurs du plan Les points A et B étant distincts, le vecteur [pic] est caractérisé par : - sa direction ( celle de la droite (AB)) - son sens ( de A vers B ) - sa longueur ou sa norme (AB ou [pic]) Vecteurs égaux [pic] = [pic] signifie que les vecteurs [pic] et [pic] ont même direction, même sens et même norme, ou encore que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. Si A et B sont confondus, [pic] est le vecteur

Exercices : utilisation des barycentres Exercice 1 ABC est un triangle quelconque. D est le point tel que AD = 2 AC . 3 A’ est le symétrique de A par rapport à B. (A’D) et (BC) se coupent en O. A l’aide de barycentres bien choisis, démontrer que O est le milieu de [BC] et préciser la position de O sur (A’D). Exercice 2 Soit ABCD un rectangle (AB = 6 cm ; BC = 4 cm). Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que : → → → → → → 3MA – 2MB + 2 MC = MB + MC + MD 

Cours sur les barycentres I. Barycentre de deux points pond´er´es Th´eor`eme : Soient A et B deux points et  et  deux r´eels. Si    0, alors il existe un unique point G tel que  ÝÑ GA  ÝÝÑ GB  ÝÑ0 . D´efinition : Soient A et B deux points et  et  deux r´eels tels que    0. L’unique point G tel que  ÝÑ GA  ÝÝÑ GB  ÝÑ0 est appel´e barycentre des points A et B affect´es des coefficients  et . remarques : On dit aussi que G est le barycentre des points pond´er´es

33. Barycentre Point pondéré (Ai;αi) avec Ai point αi nombre réel est un point pondéré (affecté de la masse αi) * S=A1;α1;…;An;αn avec n2 est le système de points pondérés. * m=i=1nαi=α1+…+αn est la masse du système. Barycentre de 2 points * Soit S=A;α;(B;β) système de masse non nulle + * Le barycentre G de S est l’unique point G tel que αGA+ βGB=0 ------------------------------------------------- G=Bar A;α;B;β⟺αGA+βGB=0 m=α+β est la masse affectée à G.du barycentre. Propriété :

parfaitement la position d’´quilibre de la barre. e e e e 1 Barycentres www.mathforu.com 2 D´finitions e Soient (A ; a) et (B ; b) deux points points pond´r´s - c’est-`-dire affect´s e e a e d’un coefficient : a est le coefficient de A, b est celui de B. Th´or`me 1 Si a + b = 0, alors il existe un unique point G tel que e e − → − − → a GA + b GB = 0. D´finition 1 Lorsqu’il existe, ce point G unique est appel´ barycentre du e e syst`me de points pond´r´s (A ; a) et (B ; b). e e e Remarque

l’ordre que vous souhaitez . La rédaction est importante. Soyez propre et clair . Bonne chance … BARYCENTRES Ex1 : Soit ABC un triangle équilatéral . Soit Γ l’ensemble des points M du plan tels que : || MA + 2 MB + MC || = || 4 MA + MB → → → → → – MC → || Déterminer la nature de l’ensemble Γ . Soit G le barycentre de ( A , 1 ) , ( B , 2 ) , ( C , 1 ) et H le barycentre de ( A , 4 ) , ( B , 1 ) , ( C , – 1 ) Ainsi, pour tout → M →plan, on a : → → point du →