Endomorphisme

Endomorphismes normaux Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E, φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition

soit donc . Proposition : , est une -algèbre Exemple : c. Propriété algébrique de polynôme d’endomorphisme Théorème : Si , Est un morphisme de groupe de -algèbre. , et Définition : est une sous algèbre de d. Polynôme endomorphisme et SEV stable Proposition : , , stable par et stable par f Conséquence : stable par . , , . Proposition : Si , si et si est un SEV stable par f Alors e. Polynôme annulateur Définition : Si , si on dit que est un polynôme annulateur

○) et (F, ■) deux ensembles munis des LCI ○ et ■. Une application f : E→F est un morphisme de (E, ○) dans (F, ■) si : ∀( ?, ?) ∈ ?², ?( ? ?) = ?(?)■?(?) Un isomorphisme est un morphisme bijectif. Un endomorphisme est un morphisme d’un ensemble dans lui-même. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. GROUPE SOUS-GROUPE Un ensemble G muni d’une LCI ∗ est un groupe Une partie H non vide de (G,∗) est un soussi : groupe de G si : i. ∗ est une loi associative i. L’élément neutre

f(0_E )=0_F ; f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de

famille Ei,j 1 i,j n est une base de Mn (C), dite base canonique, et que ∀ (i, j, k, l) ∈ {1, . . . , n}4 , Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l , avec δj,k = 1 si j = k et 0 sinon. Pour tout couple (P, Q) d’´ l´ ments de GLn (C), on notera uP,Q et vP,Q les endomorphismes de ee Mn (C) d´ finis par e ∀ M ∈ Mn (C), uP,Q (M ) = P M Q et vP,Q (M ) = P tM Q. Premi` re partie e 1. Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). (a) Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1, . . . , n}, exprimer les matrices AEi,j et Ei,j A dans ee la base

f : R → R définie par f (x) = xn . Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] Justifier que exp : C → C est un morphisme du groupe (C, +) vers (C , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 3 [ 02220 ] [correction] Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application de G vers G définie par τa (x) = axa−1 . a) Montrer que τa est un endomorphisme du groupe (G, ×). b) Vérifier que ∀a, b ∈ G, τa ◦ τb = τab

[correction] Soit J : C([0, 1] , R) → R définie par J(f ) = Montrer que J est une forme linéaire. 1 0 f (t) dt. Exercice 28 [ 01706 ] [correction] Soit ϕ : C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) définie par ϕ(f ) = f − 3f + 2f . Montrer que ϕ est un endomorphisme et préciser son noyau. Exercice 29 [ 01707 ] [correction] Soient a un élément d’un ensemble X non vide et E un K-espace vectoriel. a) Montrer que Ea : F(X, E) → E définie par Ea (f ) = f (a) est une application linéaire. b) Déterminer l’image

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres de uλ . L’endomorphisme e uλ est-il diagonalisable ? Solution : 1. L’application

propre λi . 7. Démontrer que Kp = C1 ⊕ · · · ⊕ Ck . 8. (a) Soit v un endomorphisme de Kp qui commute avec u et Q un polynôme à coefficients dans K. Démontrer que Ker Q(u) est stable par v. (b) En déduire que pour tout i ∈ {1, . . . , k}, le sous-espace caractéristique Ci est stable par u. On note ainsi uCi l’endomorphisme induit par u sur Ci . 9. Soit i ∈ {1, . . . , k}. Justifier que l’application uCi − λi idCi est un endomorphisme de Ci nilpotent. 10. En déduire que la matrice A peut s’écrire sous