Diagonalisation

| Mathématiques Economiques | DIAGONALISATION DES MATRICES A-MATRICES PARTICULIERES I. Les matrices diagonales : Une matrice carrée d’ordre n est dite diagonale si tous ses termes sont nuls sauf ceux qui se trouvent sur la diagonale principale. Propriétés des matrices diagonales : 1) La somme de 2 matrices diagonales A et B est une matrice diagonale : ses termes diagonaux sont obtenus en faisant la somme des termes diagonaux homologues des matrices A et B. 2) Le produit d’une

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne

−7 2 7 = −1 2 1 4 8 −14 23 −42 = =A 1 −2 12 −22 Notre but Pour une certaine matrice A, essayer de trouver une matrice diagonale semblable ` a A. Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 6 / 25 5.3 Diagonalisation D´finition: Matrice Diagonalisable e On dit qu’une matrice A d’ordre n est diagonalisable si elle est semblable ` une matrice diagonale. a Autrement dit, A est diagonalisable si A = PDP −1 pour une certaine matrice inversible P et une certaine

espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation 2 2 2 2 3 K désigne R ou C, E un K-espace vectoriel . 2.2 Polynôme de matrice 1 Sous espaces stables par un endomorphisme Définition 1 : Soit u ∈ stable) si (E), un sous espace vectoriel F de E est dit stable

diagonale. A’ est la matrice diagonale réduite de A. A et A’ sont semblables mais ne sont pas exprimés dans la même base. La matrice A’ est exprimée dans la base des vecteurs propres u1, … un associés aux valeurs propres λ1, … λn. 4  Diagonalisation d’une matrice symétrique On en déduit λ1, λ2 et λ3 en utilisant la formule det (A – λ I) = 0 On obtient : λ1 = 6 ; λ2 = 3 et λ3 = -2. On en déduit les vecteurs propres u, v et w en disant que A u = λ1 u. On obtient Exprimé dans la base u

changernent de base est représentée par les vecteurs propres de la matrice ATA. ACP etSVD Sw des wmées centrées, il y a (hr-pc équivalence entre urE analyse en con-mantes principales et uræ décornpogtm en valeurs Contrairement aux techniques de diagonalisation des matrices carrées, la décornposition en valeurs singu- Iières s' applique à tout type de matrice. L' indice de la I re valeur singulière égale à O détermine le rang de la matrice ; son conditionnement, au sens de la nonne IQ, est égal au rapport

´ Exercices - Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π

DIAGONALISATION EXERCICE 1. E = R3 est rapporté à sa base canonique e = {e1 , e2 , e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE

associée à A est diagonalisable (resp. trigonalisable) Caractéristique : . diagonalisable A est semblable à une matrice diagonale Caractéristique : . est trigonalisable A est semblable à une matrice trigonalisable. Caractérisation : A diagonalisation scindé à racine simple i.e. IV. Compléments sur la réduction d’endomorphisme 1. Retour sur le polynôme minimal Proposition : , . Alors et est une base de . 2. Endomorphisme et Matrice nilpotent(e) Théorème fondamentale : Si nilpotente

(scientifiques) et entre Français et Anglais (littéraires). La corrélation entre une discipline scientifique et littéraire est soit moyenne ou faible. III. Analyse multidimensionnelle VALEURS PROPRES APERCU DE LA PRECISION DES CALCULS : TRACE AVANT DIAGONALISATION... 4.0000 SOMME DES VALEURS PROPRES .... 4.0000 HISTOGRAMME DES 4 PREMIERES VALEURS PROPRES HISTOGRAMME DES 4 PREMIERES VALEURS PROPRES +--------+------------+-------------+-------------+----------