Fonction de répartition

probabilités dont les valeurs x correspondent à des événements complémentaires, le total des probabilités est égal à 1.  p( x)  1 3 Adil ELMARHOUM Echantillonnage et estimations La distribution cumulée des probabilités est appelée fonction de répartition : x F (x) = p (X  x) = 0  F(x)  1 Exemple :  p( x) Soit X la variable aléatoire qui caractérise le résultat de l'expérience aléatoire "jet d'un dé homogène". X est une variable aléatoire discrète, elle peut prendre les valeurs

i =1 *2 n est un estimateur de σ² est un estimateur de de σ * *2 Sn = Sn Propriétés : 2* E (Sn ) = σ ² 1 (n − 3) 4  2* V ( Sn ) =  µ 4 − σ  n (n − 1)  A-2 Exemple d’estimateurs Estimateur de la fonction de répartition F(x) : La fonction de répartition empirique: 1 n Fn ( x) = ∑1X i < x n i =1 est un estimateur de F(x) en tout point x. Pour une réalisation donnée ( x1 ,..., xn ) de l’échantillon aléatoire, 1 n Fn ( x) = ∑1xi < x n i =1 Propri étés : est l’estimation

suite de « bâtons » ν A chaque modalité xi du caractère, on associe un « bâton» de longueur hi ν La longueur hi doit être proportionnelle à la fréquence fi ou à l’effectif ni ν Les bâtons peuvent être verticaux ou horizontaux Exemple : Répartition des salariés de l’entreprise X selon la CSP |CSP (xi) |Effectifs (ni ) |Fréquences fi % | |Cadres supérieurs |10

aléatoires Définition d’une variable aléatoire Variables aléatoires finies Représentation d’une loi de probabilité finie Espérance mathématique d’une loi finie Variance et écart-type Loi de probabilité produit Variables aléatoires indépendantes Fonction de répartition Variables infinies dénombrables Variables aléatoires continues Chapitre 6 : Exemples de distributions 6.1 Lois discrètes 6.1.1 Loi de Bernoulli 6.1.2 Loi binomiale 6.2 Lois continues 6.2.1 Loi normale 6.2.1.1 Définition 6.2.1.2 Propriétés

. . . . . . . . . . 1.2 Applications en probabilité . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . 1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . 1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires 1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . .

bayésianisme ........................................ 13 Ch 2 : Variables aléatoires .............................................. \5 2.1 Loi de probabilité et moments d'une variable aléatoire réelle ................ 15 2.1.\ Définition et fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \5 2.1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 viii .Table des matières 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3 Lois de probabilité

remporter le bien et une enchère basse qui minimisera le prix qu’il payera si il remporte le bien. Chaque joueur i a une évaluation vi pour le bien. Les vi sont iid et distribués selon une loi exponentielle de paramètre p, de densité f() et de fonction de répartition F(). La distribution des vi est connaissance commune, mais les enchérisseurs ne connaissent que la réalisation de leur propre évaluation. fx=0, &amp;x&lt;0p*exp⁡(-px), &amp;x≥0 Fx=0, &amp;x&lt;01-exp⁡(-px), &amp;x≥0 L’utilité de l’enchérisseur

la probabilité d’apparition de chaque face. Calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair. Arbre pondéré Exercice n°10. Dans un lycée, quel que soit le niveau, un élève peut être externe ou demi-pensionnaire. L’arbre ci-contre indique la répartition selon le niveau et la qualité de l’élève (E: externe ; DP: demi-pensionnaire) 1) Recopier et compléter cet arbre. 2) a) Déterminer le pourcentage d’élèves externes dans ce lycée. b) Déterminer la part des Terminales parmi les externes. Probabilité

CA ? 1 Exercice 2 1 1   2(1 − x ) 2 si x ∈[ 0, 2 [  1  1 On considère la fonction f définie par : f (x) =  2 si x ∈[ , 1[ 2 2 x 0 sinon.   1) Montrer que f peut être considérée comme une densité de probabilité. Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé (Ω, A, P) et admettant la fonction f pour densité. 2) Déterminer la fonction de répartition F de X. 3) Montrer que X a une espérance et que celle-ci vaut 1 . 2 4) a) Déterminer

variables aléatoires que nous étudierons sont des applications (des fonctions) de dans R. Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu'obtenir pile rapporte 1 e, alors qu'obtenir face fait perdre 1 e. On dénit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 et X(face) = 1, qui donne le gain en euros en fonction du résultat de l'expérience aléatoire. Dénitions et notations 1.2 (fX 6 xg, Fonction de répartition) Soit X une variable aléatoire dénie sur . L'ensemble des éléments