Fonction de répartition

1.1.1. Calcul de probabilités sur un univers W 2 1.1.2. Variable aléatoire à valeurs réelles. 2 1.1.3. Probabilité image définie par une variable aléatoire 2 1.1.4. Loi de probabilité ou distribution d’une variable aléatoire 3 1.1.5. Fonction de répartition 3 1.2. Autres exemples 3 1.2.1. Exemple de variable aléatoire discrète 3 1.2.2. Exemple de variable aléatoire discrète, prenant une infinité de valeurs 3 1.2.3. Exemple de variable aléatoire continue 3 2. Espérance mathématique, variance

elle est absolument continue et admet pour densité : La loi de densité est appelé normale réduite centrée et est notée . Propriétés : i. et ii. est une fonction paire et admet une maximum en x=0, qui vaut .Le graphe de a l’allure d’une courbe en cloche : iii. Sa fonction de répartition est et a pour allure : 2) La loi normale générale. Définition : On dit qu’une variable aléatoire à valeurs dans est dite normale si elle est absolument continue et

MATIÈRES Table des matières I Rappels de probabilités 1. Variables aléatoires . . . . . . . . . . . 2. Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Covariance et corrélation . . . . . . . . 5. Fonction de répartition conjointe . . . 6. Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Principes, méthode de moments 9.2. Moindres

Xi) ( +  Xi) La variance de l’erreur varie en fonction des valeurs prises par X : elle est hétéroscédastique 11 Modèles à probabilités non linéaires Présentation 12 Le risque d ’avoir des probabilités calculées négatives est écarté en modélisant la relation X - Y sous la forme : Yi = (+Xi) + i où (.) est une application dont les réalisations s ’inscrivent obligatoirement entre 0 et 1. Quoiqu ’il existe, virtuellement, une multitude fonctions répondant à ce critère, le choix de (.) se porte

Fiabilité: Aptitude d’un système à accomplir une fonction requise dans des conditions d’utilisation données et pendant un temps donné. • Maintenabilité: Aptitude d’un système à être remis dans un état de fonctionnement donné, dans des limites de temps spécifiées, lorsque le travail est effectué selon des procédures prescrites et des conditions données. Z. Cherfi 2 SDF DEFINITIONS • Disponibilité: Aptitude d’un système à accomplir une fonction requise dans des conditions d’utilisation données

− un . 1 1 1 a) Montrer que lim ( − )= . n →+∞ v vn 2 n +1 b) Utiliser le résultat admis en début d'exercice pour trouver un équivalent de vn lorsque n est au voisinage de +∞. 2 1 c) En déduire que un = 1 − + o( ) . +∞ n n 1/4 3) a) Écrire une fonction Pascal d’en-tête function u (n : integer) : real ; qui renvoie la valeur de un . b) En déduire un programme, rédigé en Pascal, qui permet de déterminer et d’afficher la plus petite valeur de n pour laquelle on a : 1 − un < 10−3 . Exercice 2 1) Montrer

intervalle de confiance d’une population P.042 P.042 P.043 P.043 P.045 P.046 P.047 4 5 E. Taille d’un échantillon et précision de l’estimation 1. Détermination de la taille de l’échantillon en fonction de la précision sur la proportion 2. Détermination de la taille de l’échantillon en fonction de la précision sur la proportion Estimation par intervalle de confiance de la différence et du rapport de deux paramètres de deux populations : cas de deux échantillons de population A. Intervalle de

Déterminer le cardinal de l’univers de l’expérience aléatoire. Calculer la probabilité de l’événement . 2/ On considère X la variable aléatoire égale à ce plus grand chiffre. Déterminer , la loi de X, son espérance et sa variance. Tracer la fonction de répartition de X. Exercice 7 On réalise une expérience dont la probabilité de réussite est de 0,7. On répète 10 fois l’expérience successivement. Quelle est la loi suivie par X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de fois où l’expérience marche

UCL Devolder 3 1. Probabilités - mesure de probabilité : ℑ → [0,1] Fonction P : telle que: (i) P( φ) = 0 et P(Ω) = 1 (ii) si A i (i = 1,...) sont disjo int s : ∞ ∞ i =1 i =1 P( U A i ) = ∑ P( A i ) -espace de probabilité : triplet UCL Devolder (Ω , ℑ,P) 4 1. Probabilités - variable aléatoire ( à valeurs réelles) : Une variable aléatoire X à valeurs réelles est une fonction ℑ mesurable: X:Ω → R X −1 (B) ∈ ℑ (B= borrélien de R) - distribution

probabilités dont les valeurs x correspondent à des événements complémentaires, le total des probabilités est égal à 1.  p( x)  1 3 Adil ELMARHOUM Cours de statistique III La distribution cumulée des probabilités est appelée fonction de répartition : x F (x) = p (X  x) =  p( x) 0  F(x)  1 Exemple : Soit X la variable aléatoire qui caractérise le résultat de l'expérience aléatoire "jet d'un dé homogène". X est une variable aléatoire discrète, elle peut prendre les valeurs