Fonction de répartition

5. k urnes numérotées de 1 à k contiennent chacune n boules identiques numérotées de 1 à n. On extrait une boule de chaque urne, on note Xi le numéro de la boule tirée de l'urne n°i. On note M = max{Xi ; 1  i  5}. Déterminer la fonction de répartition Fm de la variable aléatoire M. (On fera les hypothèses d'indépendance nécessaires). En déduire la loi de M. Calculer E(M) pour k = 2 ; k = 3. Lois finies. 6. Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent

nouvelles séries sont proposées par une chaîne de télévision. Pour chacune d’entre elles, la chaîne diffuse un épisode pilote et, en fonction de l’appréciation du public, la chaîne décidera de diffuser la suite des séries. On considère les évènements suivants : Ei =“l’épisode pilote de la série i a été apprécié par le public” (i = 1, 2, 3). Exprimer les évènements suivants en fonction de Ei , E i et des opérateurs ∩ et ∪ : A =“tous les épisodes ont été appréciés” ; B =“aucun épisode n’a été apprécié” ; C =“au

aléatoires continues Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia 2011 - 2012 I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 1 / 28 Sommaire 1 Loi d’une v.a. continue 2 Fonction de répartition 3 Moments d’une v.a. continue 4 Quelques lois usuelles continues 5 Loi uniforme 6 Loi normale 7 Loi exponentielle I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 2 / 28 Loi d’une v.a. continue Loi d’une v.a. continue I

On tire au hasard deux boules simultanément. Soit X, la somme des numéros marqués sur ces boules. Déterminer et représenter graphiquement la loi de probabilité de X. Tracer aussi la courbe cumulative (= représentation graphique de la fonction de répartition) Correction : [pic]= ensemble des tirages simultanés de deux boules de l'urne. card [pic]= [pic]= 36 Il y a donc 36 tirages possibles. Regardons toutes les valeurs possibles prises par X : X([pic]) = {0; 1; 2; 3; 4} Cherchons

DOC4MAMATRC00011    Page 2  http://www.najah.com            V(X) = E( (X –E(X))² )= E(X²)‐ (E(X))²        On appelle écart type de X le nombre   σ ( X ) =  V(X)   Fonction de répartition d’ une variable aléatoire  Soit ( Ω , P   ( Ω ),p) est un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire définie sur  Ω     On appelle fonction de répartition de X , l’application définie de IR dans  [ 0,1]  par  f : x → p( X ≤ x )     Loi binomiale ou Schéma de Bernoulli  Un schéma de Bernoulli se résume par : 

Démontrer que sa fonction de répartition, notée FX , dénie par Soit ∀ x ∈ R, FX (x) = P(X ≤ x) vérie les propriétés suivantes : 1. FX est croissante avec limx→−∞ FX (x) = 0 et limx→−∞ FX (x) = 1. 2. FX plus est continue à droite en tout point et admet des limites à gauche en tout point. De 3. limy→x− FX (y) = P(X < x). FX caractérise la loi de X . Soit Exercice 5 bilité discret X une variable aléatoire à valeurs dans N (Ω, P). On dénit sa fonction génératrice

continues Fonction de répartition 30 3) Variables aléatoires continues Fonction de répartition / Fonction densité 31 Fonction de répartition / fonction densité 3) Variables aléatoires continues Espérance 32 3) Variables aléatoires continues Variance 33 3) Variables aléatoires continues Loi uniforme 34 3) Variables aléatoires continues Loi exponentielle 35 Loi exponentielle 3) Variables aléatoires continues Loi normale 36 Loi Normale Fonction densité

constitutifs d’une série chronologique A. La tendance à long terme B. Le mouvement saisonnier C. Les irrégularités D. Les perturbations Les modèles de composition d’une série chronologique Analyse de la tendance A. Ajustement de la tendance par une fonction analytique B. Définition d’une moyenne mobile C. Détermination de la tendance par la méthode des moyennes mobiles D. Inconvénients de la méthode des moyennes mobiles 94 97 103 103 103 104 104 104 105 108 108 109 110 112 113 113 114 115 115 116

1.5 Loi conjointe d’un n-uplet de variables aléatoires indépendantes 2 Lois sur R et lois sur Rn 2.1 Variables aléatoires réelles . . . . . 2.1.1 Fonction de répartition . . . 2.1.2 Lois discrètes . . . . . . . . 2.1.3 Lois continues . . . . . . . . 2.1.4 Changement de variables . . 2.2 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . 2.2.1 Fonction de répartition . . . 2.2.2 Densité de probabilité . . . 2.2.3 Loi conditionnelle et densité 2.2.4 Changement de variables . . 3 7 8 8 8 13 18 19 19 20 21 22 22 25

UNIVERSITAIRE 2003/04 1 RAPPELS MATHEMATIQUES ......................................................................................................................... 3 I. FONCTION GENERATRICE, TRANSFORMEE DE LAPLACE, TRANSFORME EN Z ................. 3 I.1. I.2. I.3. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE : FONCTION GENERATRICE .................................................................. 3 VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE : TRANSFORME EN Z ...................................................