Fonction de répartition

de la densité de la variable x représenté à droite du graphique 2 3. Fonction de répartition empirique et fonction de répartition de la loi normale Graphique3 : fonction de répartition empirique de la variable X(en rouge) et la fonction de répartition de la loi normale(en bleu) Commentaire : ce graphique ci-dessus présente la fonction de répartition de la variable X(courbe en rouge) et la fonction de répartition de la loi normale dont l’espérance et l’écart type sont la moyenne et

deux défaillances est appelée MTBF (Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement). La fonction de défaillance F(t) est la fonction de répartition des probabilités de défaillance. Les probabilités complémentaires de cette fonction constituent la fonction de survie ou de fiabilité, notée R(t) (le R signifiant Reliability). Dans la mesure où l’on approxime la loi de probabilité par une fonction continue, on détermine une fonction de densité en dérivant F(t). Lorsque l’échantillon est petit, on préfère utiliser

probabilité de ?. Définition : "Fonction de répartition d’une variable aléatoire" Soit ? une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω. La fonction de répartition de ? est l’application ? définie sur ℝ par : ?(?) = ?(? ≤ ?) Propriétés : Soit ? une variable aléatoire réelle discrète définie sur un univers Ω. ? 1. Si ?(Ω) = {?1 , ?2 , … , ? ? }, alors ∑ ?=? ?(? = ? ? ) = ? . ?(? > ?) = ? − ?(? ≤ ?) pour tout réel ?. 3. La fonction de répartition ? de ? est constante sur chacun

1 1 x + dx + 9 3 0 0 1 2 1 x + x + 18 3 3 1 1 = 0+ + +0=1 2 2 3 1 2 1 x + x 18 3 = 0+ Z+1 0dx 3 +0 0 Donc f est une densité de probabilité Pour le graphe : Publier ailleur. 2. On sait que la fonction de répartition est : FX (t) = 1 on calcule F sur chaque intervalle. Si x 2 ] 1; 3[, on a : FX (x) = Zx f (x)dx = 0 1 Si x 2 [ 3; 0], on a : FX (x) = Zx f (x)dx = 1 Z3 Zx 1 1 = f (x)dx + x + dx 9 3 1 = Zx

que l’image par x → ax+b de [0, 1] soit I puis : U = rand(1); X =a∗U +b 2. Inversion de la fonction de répartition Rappel du théorème fondamental : Proposition 1. Soit F une fonction de répartition. On appelle fonction quantile la fonction F − (u) = inf {x : F (x) ≥ u}, u ∈]0, 1[ Alors si U est une variable de loi uniforme sur [0, 1], la variable X = F − (U ) a pour fonction de répartition F. Ainsi, à partir d’un générateur de loi uniforme sur [0, 1], on peut en principe simuler n’importe

probabilité qu’il reste en plongée encore au moins 3 mois ? EXERCICE N°4 :(5 points) Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est la fonction f définie par : où a désigne un réel positif. 1. Déterminer la valeur de a pour que f soit la densité de probabilité d’une variable aléatoire continue notée X. 2. Déterminer alors sa fonction de répartition F et, si elle existe, son espérance. 3. On considère la variable aléatoire Y définie par : Y=2X-4. a. Déterminer pour tout réel

aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 La loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Densité d'une variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

courant. Nous avons présenté également des méthodes plus particulières, à usage pédagogique. I. La fonction ALEA On peut simuler l’expérience avec Excel grâce à la fonction ALEA. Vérifions le en recopiant la formule =ALEA() sur 1000 cellules puis en représentant la distribution des valeurs obtenues par un nuage de points. Les valeurs de la série changent quand on relance les calculs (touche fonction F9) mais elles se répartissent toujours de manière apparemment indépendante et uniforme entre 0 et

200. Le coût de passation d’une commande est évalué à 12 €. Le taux de possession annuel est approximativement égal à 12 % compte tenu des taux d’intérêts actuels. Le délai de livraison pour ce produit est de 6 jours. Question 5 : explicitez la fonction de coût total de gestion du stock de Tûttût (on prendra la quantité commandée q comme variable). Question 6 : en utilisant votre réponse à la question précédente, déterminez la valeur de la quantité économique de commande, notée q*. Question 7 :

 2σ 2  2πσ   1 2 Exemples de lois normales Fonction de répartition Pas calculable analytiquement Calcul numérique La loi normale centrée réduite Loi normale d’espérance nulle et de variance 1 u ~ N (0,1) f (u ) =  u2  1 exp −   2 2π   Représentation graphique Passage d’une loi normale quelconque à la loi normale centrée réduite On peut toujours déterminer la valeur de la fonction de densité ou de répartition d’une loi normale quelconque à partir de la loi normale