Fonction de répartition

valeurs possibles de xi ; alors (xi ; pi) constitue la loi de probabilité de X. Xi représente un résultat : la probabilité du résultat xi dans X appartenant à Ω est égale à pi Fonction de répartition : Obtenue en cumulant les valeurs des probabilités qui sont inférieures ou égales à la valeur donnée X C’est une fonction croissante et positive : en escalier. Elle varie de 0 à 1. La probabilité d’un intervalle est P(a < X < b) = F(b) – F(a) Espérance Mathématique : C’est la somme des probabilités

correspondent aux quantités observées, les [pic] aux probabilités théoriques (lues dans les tables), et [pic] à la taille de l'échantillon observé. Pour une matrice: [pic], qui suit une loi [pic] 4 Loi Gamma [pic] Rappel mathématique: fonction gamma d'Euler et propriétés ❑ [pic], pour [pic] ❑ [pic] ❑ [pic] ❑ [pic] ❑ [pic], si [pic] est entier Généralités sur la loi gamma ❑ [pic] si [pic] ❑ [pic] ❑ [pic] Somme de lois gamma. Soient [pic] et [pic], 2 variables aléatoires

n ) . On parle ici d’échantillon empirique ou observé. Soit (X1, X 2 , K, X n ) un échantillon théorique. Convergence de la fonction de répartition d’un échantillon. (x 1, x 2 ,K, x n ) un échantillon empirique. x1 < x 2 < L < x n On va noter F’(x) la fonction de répartition empirique ou fonction des fréquences cumulées. F(x)=Prob(X≤x) est la fonction de répartition théorique ou encore c’est la probabilité de l’événement “X≤x” F’(x)= xi ≤ x ∑ fi F’(x) converge en probabilité vers F(x)

Construction Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution de probabilité. Définition : une fonction pivotale pour le paramètre θ est une fonction des observations ( X 1,..., Xn) et du paramètre θ dont la loi ne dépend pas du paramètre θ . On recherche dans la suite des fonctions pivotales particulières adaptées aux cas étudiés. α 2 , l’intervalle est dit ______________________________________________________________________________________

exponentielle. Comme le paramètre de la loi exponentielle est l’inverse l’espérance, il s’agit d’une loi de paramètre λ = 1/3 1 + La variable aléatoire exponentielle E (λ) est définie sur R par la densité: f(x) = λ e − λx On en déduit sa fonction de répartition : x si x ∈ R , F(x)= ∫0 f(x) dx = 1 - e − λx + Donc P(X4) = 1- F(4) = 1 - e = 1 – 0, 7364 = 0,2636 D’où p= 0,7502 c) X suit une loi inconnue d’espérance m = 5 et d’écart-type σ = 0,5 On ne peut pas calculer p mais d’après

cumulée de 1 − α 2 d’où u1−α 2 Ecrivons ce que représente graphiquement la probabilité : 1 − α [ 1 − α = Pr ob u α1 < U < u1− α2 ] Remplaçons U par sa valeur : 1 Note : on met en indice la valeur de la probabilité correspondant à la fonction de répartition EchM2.doc 3/21 Echantillonnage M2   X −m   < u1− α2  1 − α = Pr ob u α1 < σ   n   1 − α = Pr ob u α1 σ < X − m < u1− α2 σ  n n    = prob u α1 σ − X < −m < u1− α2 σ − X n n       = Pr ob  X − u1− α2 σ < m

carré ? (4 as ou 4 rois ou 4 dames ou 4 valets,…) RESOLUTION : Il aura donc 0.11% de chance d’avoir un carré en main ! Rechercher la fonction densité de probabilité de la racine carrée Y d’une variable aléatoire uniforme X définie dans l’intervalle [0;4] ainsi que la moyenne, la variance et la médiane de la variable Y X tel que RESOLUTION : Donc  Y fonction croissante de X  Donc – tel que (voir graphique) pour Soit X la variable aléatoire continue de densité X tel que Montrer que obéit

retourne les cartes une par une jusqu’à obtenir un roi rouge. On définit les événements : Rk : « la k-ième carte retournée est un roi rouge ». Ek : « le premier roi rouge obtenu est la k-ième carte retournée ». 1) Calculer P ( E1 ) , puis en fonction de n et de k la probabilité de Ek si k ≥ 2 . Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013 Probabilités -2- 2) Il donne 1 euro chaque fois qu’il retourne une carte et dès qu’il obtient un roi rouge, il gagne a

P(X = xi) la probabilité que X = xi ∑ P(X = xi) = 1 si X est discrète, la loi de proba : X=xi x1 x2… P(X=xi) P1 P2… 1 f(x) ≥ 0 ∫f(x)dx = 1 sur tt domaine P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx sur [a,b] si X est continue on définit une fonction f(x) de densité telle que : Fonction de répartition pour une v.a discrète : F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(x)dx f(x) = (F(x))’ Propriétés : 0 ≤ F(x) ≤ 1, monotone décroissante, continue à droite. Loi de probabilité simultanée : N1 N2 1 2 3 4 P(N1=n1) 1 1/10 1/10 1/10 1/10 4/10

[µ - σ ; µ + σ] - 95.4% des valeurs sont dans l’intervalle [µ - 2σ ; µ + 2σ] - 99.7% des valeurs sont dans l’intervalle [µ - 3σ ; µ + 3 σ] Fonction de densité = 1 e –(x-µ)2/2σ2 σ √2π Z = x-µ E(x) = µ Var(x) = σ2 σ Loi Exponentielle Le temps entre les arrivées, la distance entre les défauts majeurs Fonction de densité = 1e-x/µ pour x ≥ 0, µ ≥ 0 µ Elle fournit la probabilité cumulée d’obtenir une valeur inférieure ou égale à une valeur