Fonction trigonométrique

T (ou la même fréquence). u1 u2 t t Avance de phase : Quand une fonction sinusoïdale atteint, toujours, son maximum (donc son minimum et son 0 en allant dans le même sens que l’autre fonction) avant l’autre, elle est dite « en avance de phase ». 40 Retard de phase : Quand une fonction sinusoïdale atteint, toujours, son maximum (donc son minimum et son 0 en allant dans le même sens que l’autre fonction) après l’autre, elle est dite « en retard de phase ». Décalage horaire : A tout

QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Pour Dimitri 1. Calcul intégral facilité par les nombres complexes Par exemple, calculer une intégrale de forme a cosn xdx ou a sinn xdx avec n pair. Nous verrons dans un moment que le cas où n est impair est plus facile et direct. Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui

les angles suivants donner 2 mesures positives et 2 mesures négatives et la mesure principale 30°, 240°, –135°, –778°, 319° ; [pic] 3) Cercle goniométrique et angles orientés Dans un repère orthonormé, le cercle goniométrique ( ou trigonométrique ) est un cercle de rayon 1 sur lequel on a choisit un point origine pour porter les angles au centre. 4) Orientation sur le cercle 5) Quadrants On les définit comme étant les 4 quarts du cercle. On les numérote 6) Définition du sinus

= 1 AC² (sinA) : (cosA) BCBA =----- : ----- AC AC BCAC = ----- X----- ACBA BC = ---- BA = (tan A) Les fonctions : ; -un nombre a une seule image -un nombre peut avoir un, aucun ou plusieurs antécédents. C : 2 ---> 8 se lit : la fonction c qui, à 2, associe 8. 8 est l'image de 2 par la fonction c, 2 est un antécédent de 8 par la fonction c. Chercher une image : EX : f(x) = 4x² + 1 pour x = 5 : f(5) = 4X5² + 1 f(5) = 4X25 + 1 f(5) = 100+1 f(5) = 101 Chercher

libres 1 d’un oscillateur harmonique est, par définition, sinusoïdale. Elle peut donc s’écrire x(t) = xmax cos(ωt). D’après les propriétés du cosinus, xmax représente bien l’amplitude de l’oscillation. Par ailleurs, la fonction cosinus étant périodique de période 2π, la fonction t → cos(ωt) est périodique de période T = 2π/ω, et ainsi le facteur ω que l’on a introduit dans l’argument du cosinus correspond bien à la définition 1.3 de la pulsation. Enfin, le cosinus étant maximal lorsque son argument

Angles remarquables x | sin(x) | cos(x) | tan(x) | cotan(x) | 0 | 0 | 1 | 0 | / | /6 | 1/2 | (3)/2 | (3)/3 | (3) | /4 | (2)/2 | (2)/2 | 1 | 1 | /3 | (3)/2 | 1/2 | (3) | (3)/3 | /2 | 1 | 0 | / | 0 | | 0 | -1 | 0 | / | 1.4/ Equations trigonométriques k appartient à Z sin(a) = sin(b) alors a = b + 2k ou a =  - b + 2k cos(a) = cos(b) alors a = b + 2k ou a = -b + 2k tan(a) = tan(b) alors a = b + k II - Formules d'addition sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) sin(a - b)

Exercice 1 : 1) a) IH' =I' O+OH donc IH'=1+cos ( x ) . I' H=1 OH=cos ( x ) { • • ̂ MI' I et ̂ MOI interceptent le même arc de cercle ; on a donc 1 ̂ MOI= x rad car M repère sur le cercle MI' I= ̂ MOI , or ̂ 2 ̂I mesure x rad. trigonométrique le nombre x , donc MI' 2 I' H x MI' I )= =cos En se plaçant dans le triangle I'MH rectangle en H : cos ( ̂ I' M 2 x I' M I' M = = • De même, se plaçant dans le triangle I'MI rectangle en M, on a cos . 2 I' I 2 b) En multipliant les deux dernières égalités

Forme trigonométrique des nombres complexes Argument d’un nombre complexe non nul → → • Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, − u,− v ). z est un complexe non nul d’image ponctuelle notée M. M(z) On appelle argument de z toute mesure en radian de l’angle −−→ → orienté − u , OM . −−→ → → − u , OM (2π). arg(z) arg(z) = − v • Si θ0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est → O − u l’ensemble des réels de la forme θ0 + 2kπ, k ∈ Z. z Détermination d’un argument. Si z est

ÉTUDE DE LA FONCTION TANGENTE . Le but de ce devoir est d’étudier la fonction tangente et d’en établir quelques propriétés. 1. Résoudre, sur ] − ; ], l’équation : cos x = 0. En déduire toutes les solutions, sur R, de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : tan x = sin x cos x pour x 2 D où D = R \  2 +k, k 2 Z  On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; #ı ; #| ). a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer

2 x−3 = 20. 1 1 no 10 (***) Soit a un réel distinct de √ et − √ . 3 3 1) Calculer tan(3θ) en fonction de tan θ. 2) Résoudre dans R l’équation : 3x − x3 3a − a3 = . 1 − 3x2 1 − 3a2 On trouvera deux méthodes, l’une algébrique et l’autre utilisant la formule de trigonométrie établie en 1). no 11 (****) On veut calculer S = tan 9◦ − tan 27◦ − tan 63◦ + tan 81◦ . 1) Calculer tan(5x) en fonction de tan x. 2) En déduire un polynôme de degré 4 dont les racines sont tan 9◦ , − tan 27◦ , − tan 63◦ et