Loi de Poisson

image et loi d’une variable al´atoire . e e Cas des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . e e 3.4.1 Fonction de r´partition . . . . . . . . . . e 3.5 Lois discr`tes et lois continues . . . . . . . . . . . e 3.5.1 Lois discr`tes . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.5.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Les lois usuelles au programme . . . . . . . . . . 3.6.1 Le cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 La loi uniforme discr`te . . . . . . . . . . e 3.6.3 La loi de Bernoulli

quelle que soit la norme utilisée. Même si les différentes composantes ne sont pas normées de la même façon l'estimateur augmenté est toujours préférable. Exemple[modifier] On considère donc n variables aléatoires Xi distribués selon des lois de Poisson de paramètre λ et l'on cherche à estimer e − λ. On peut montrer assez facilement en considérant le critère de factorisation que S = \sum_{i=1}^n X_{i} est une statistique exhaustive. Pour montrer l'intérêt de ce théorème, on prend un estimateur très

2 =  (x-µ)2.f(x) Loi binomiale f(x) = (■(n@x)) px (1-p)n-x µ = np 2 = np(1-p) n = nb de tirages p = probabilité de succès à chaque tirage x = nb de succès (■(n@x)) = n!/x!(n-x)! 4 conditions : L’expérience est une série de n tirages identiques Deux résultats sont possibles à chaque tirage (succès ou échec) Les probabilités de succès à chaque tirage ne se modifient pas d’un tirage à l’autre Les tirages sont indépendants On peut utiliser la Loi de Poisson où µ = np pour résoudre

clients est décrite à l’aide d’un processus stochastique de comptage. Ce processus suit une loi de probabilités décrivant l’inter arrivées des clients. En général, ce processus suit une loi de poisson ʎ. b- Temps de service : Le temps de service d’un client est le temps séparant le début et la fin de service de ce client. Ce temps, de sa part, suit une loi de probabilités qui est, en général, une loi exponentielle µ. c- Nombre de serveurs : Le cas le plus simple est le cas d’un seul

e ee • F est une fonction en escalier, • P r(a < X ≤ b) = F (b) − F (a), • F est croissante, • lim−∞ F (x) = 0 et lim+∞ F (x) = 1, • P r(X > a) = 1 − P r(X ≤ a) = 1 − F (a). 1.3.2 Loi de probabilit´ e Si X est une variable al´atoire discr`te avec pour ensemble de valeurs {x1 , x2 , . . .}, sa loi de e e probabilit´ est d´finie par tous les pi = P r(X = xi ). Bien sˆr, on a i pi = 1. e e u 1.3.3 Moyenne et Variance Comme dans le cas des statistiques, on peut d´finir moyenne

aussi souvent employ´ee). Une variable al´eatoire X de loi la mesure de Dirac en x0 È E est presque sˆ urement constante ´egale `a x0 et r´ecipoquement : PX Øx0 Ù ÈØX x0 Ù 1. Lorsque E Ê, on a ÖX × x0 , VarÔX Õ ϕX Ôθ Õ 0, eiθX eiθx0 . Fonction de r´ epartition Mesure de Dirac en x0 1 1 0 0 x0 x0 On pourra prendre pour d´efinition : D´ efinition. — Soit ÔE, E Õ un espace mesurable s´epar´e (tous les singletons sont mesurables). Toute loi discr`ete sur ÔE, E Õ est combinaison barycentrique

Probabilit´s conditionnelles . . . . . . . . . e 3 Variable al´atoire discr`te e e 3.1 Variable al´atoire . . . . . . . . . . . e 3.1.1 D´finition g´n´rale . . . . . . e e e 3.1.2 Variables al´atoires discr`tes e e 3.1.3 Variables al´atoires continues e 3.2 Loi d’une variable al´atoire discr`te . e e 3.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . e 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 6 . 6 . 6 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 8 . 8 . 8 . 9 . 11 13 13 14 14 15 17 18 23 23 23 23 24 24 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PROBABILITES et STATISTIQUES Cours et exercices C. Reder IUP2-MIAGE Bordeaux I 2002-2003 1 SOMMAIRE I- Le modèle probabiliste 1- Evènements 2- Loi de probabilité, espace de probabilité 3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables 4- Exercices II- Probabilités conditionnelles 1- Définition 2- Deux résultats de décomposition 3- Evènements indépendants 4- Exercices III- Variables aléatoires : généralités 1- Définitions 2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité

Variante et l’écart-type 5 AJUSTEMENT ANALYTIQUE 6 I 1 ére Methode de Mayer 6 2éme Methode :Les moindres carrés 7 Corrélation Linéaire 7 LES PROBABILITES 9 I Notion de variable Aléatoire 9 II Lois de Probabilités 10 A Loi Binomiale 10 B Loi Normale ou loi de Laplace-Gauss 11 Terminologie statistique Serie statistique = ensemble de données Unités statistiques = element constituant la serie statistique Variable = une caractéristique des unités CA en k€ | NB de client | Ecc

DCG UE11 Fiche 1 en Probabilités La loi Binomiale I) Contexte d’application : Soit une épreuve E de Bernoulli, c’est à dire une épreuve à deux issues possibles : S = Succès On répète n p = P (S ) E = Echec Epreuve de Bernoulli : de Probabilité de Probabilité q = P (E ) = 1 − p fois cette même épreuve et ceci de manière indépendante. On s'intéresse alors à la variable aléatoire X représentant le nombre de réalisations de l’événement S (succès) au cours de ces