Loi des grands nombres

on tire au hasard une boule dans une urne contenant 3 boules blanches, 1 boule noire et 6 boules vertes. Une boule verte fait gagner 5 €, une boule noire fait gagner 1 € et une boule blanche fait perdre 2 €. La variable aléatoire X compte le nombre de points obtenus. 33 1. 20 10 29 p(X у 5) = p(X = 5) + p(X = 7) = 0,35 + 0,40 = 0,75. 20 31 a) X 80 0 50 30 60 0 50 10 70 0 50 20 50 0 0 0 Ou bien, en utilisant l’événement contraire : p(X у

les adhérents. Pour atteindre son but, à savoir régulariser les effets du hasard en compensant les risques au sein de la mutualité ; l’assurance suppose le groupement d’une multitude de risque du plus grand nombre possible de Droit des assurances-Landry ABRO-2014 Page 4 risquer. Plus grande est la mutualité plus les risques sont dilués ; plus les cotisations sont importantes plus la masse commune est à même de régler les sinistres. Plus les assurés sont nombreux moins la charge du risque

dans le cadre réglementaire d’un contrat, une prestation en cas de réalisation d’un risque à une autre partie (l’assuré), moyennant le paiement d’une prime ou cotisation. L’assureur réalise alors la mutualisation des risques en utilisant la loi des grands nombres et les lois de la statistique ». Pour employer un langage moins technique, on peut affirmer que « l’assurance a été établie de sorte que la perte pèse légèrement sur beaucoup, plutôt que lourdement sur peu ». L’assurance est un concept

d´fectueuses. On examine 5 pi`ces choisies au hasard dans la production. e e Soit X la variable al´atoire : nombre de pi`ces d´fectueuses parmi les 5. e e e 1. Quelle est la loi de probabilit´ de X ? e X suit une loi binomiale de de param`tres N = 5 et p = 0.3. e k On en d´duit que ∀k ∈ [[0, 5]], p(X = k) = C5 0.3k 0.75−k e 2. Calculer E(X) et V (X) On a d´montr´ dans le cours que pour la loi binomiale on avait e e E(X) = N p V (X) = N p (1 − p) On a donc dans cet exercice E(X) = 1.5 V (X) = 1.05

I) SONDAGE Un sondage peut également être une méthode statistique d'analyse d'une population humaine ou non humaine à partir d'un échantillon de cette population. La théorie des sondages (échantillonnage et estimation dans des populations finies) modifie profondément les concepts étudiés en probabilités et statistique inférentielle. Dans l'approche sondage, aucune hypothèse n'est faite sur la distribution de probabilité ; l'aléatoire vient de l'échantillonnage (procédure aléatoire de génération

(probl`me des rencontres, le e e e chevalier de M´r´, boules et urnes). ee e CHAPITRE 5. Variables al´atoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application r´ciproque. Fonctions mesurables. Variables al´ae e toires. Loi de probabilit´ d’une variable al´atoire. Fonction de e e r´partition d’une variable al´atoire r´elle. La fonction de masse e e e et les discontinuit´s de la fonction de r´partition. Tribu engendr´e e e e par une variable al´atoire. Compl´ments et exercices

Variables al´ eatoires discr` etes 4.1 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . 4.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Loi d’une variable al´eatoire discr`ete 4.1.3 Fonction de r´epartition . . . . . . . 4.2 Lois discr`etes classiques . . . . . . . . . . 4.2.1 Lois de v.a. finies d´ej`a connues . . 4.2.2 Lois G´eom´etriques . . . . . . . . . 4.2.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 31 32 33 34 34 36 37 . . . . . 41 41 41 42 42 46 . . . . . . . . . .

. . . . . . e 2.4 Lois discr`tes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5 Lois discr`tes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.1 La Loi G´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5.2 La Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Variables al´atoires continues . . . . .

Rappel sur les manipulations de 2.2.2 D´finition . . . . . . . . . . . . e 2.2.3 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 2.2.4 Lois discr`tes usuelles . . . . . . e 2.2.5 Loi marginale . . . . . . . . . . 2.3 Esp´rance et variance . . . . . . . . . . e 2.3.1 Esp´rance . . . . . . . . . . . . e 2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi et esp´rance conditionnelles . . . . e 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3 Variables al´atoires ` densit´

VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES 1. Loi de probabilité 2 1.1. Exemple 2 1.1.1. Calcul de probabilités sur un univers W 2 1.1.2. Variable aléatoire à valeurs réelles. 2 1.1.3. Probabilité image définie par une variable aléatoire 2 1.1.4. Loi de probabilité ou distribution d’une variable aléatoire 3 1.1.5. Fonction de répartition 3 1.2. Autres exemples 3 1.2.1. Exemple de variable aléatoire discrète 3 1.2.2. Exemple de variable aléatoire discrète, prenant une infinité de valeurs 3