Matrice triangulaire

cours de Dr. Lara Thomas Polycopié initial élaboré par Prof. Eva Bayer Fluckiger Dr. Philippe Chabloz Septembre 2009 2 Table des matières 1 Systèmes d’équations linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode

d’une matrice. Opérations sur les matrices. Interprétation dans des exemples. Calcul Matriciel Définitions et opérations A. Claeys GEA - IUT A - Lille 1 Septembre 2011 Définition d’une matrice. Opérations sur les matrices. Interprétation dans des exemples. Plan 1 Définition d’une matrice. Etude d’un exemple. Définition d’une matrice. Matrices particulières. Egalité de deux matrices. 2 Opérations sur les matrices. Somme de deux matrices. Produit d’une matrice par

22 23 23 23 3 Matrices 3.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 (Mn,p (K), +, .) est un K-espace vectoriel . . . . . . . 3.1.3 Sous-espaces des matrices diagonales et triangulaires 3.1.4 Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . 3.2 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Matrice colonne des composantes d’un vecteur . . . . 3.2.2 Matrice des composantes

Cazenave Méthode des éléMents finis Approche pratique en mécanique des structures © Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-055065-4 Table des maTières 1 • introduction 2 • rappels sur le calcul matriciel 2.1 2.2 2.3 Notion de matrice Opérations de base matrices carrées 1 3 3 4 7 3 • rappels sur la mécanique du solide 3.1 3.2 3.3 3.4 les contraintes les déformations relations entre contraintes et déformations Énergie de déformation élastique 15 15 19 22 27 4 • Principes de la

Généralités sur les matrices  Sommaire 1.  Matrices particulières .............................................................................................................. 1  2.  Opérations sur les matrices ..................................................................................................... 2  Multiplication par un scalaire   : ............................................................................................... 2  Addition de deux matrices de même dimension (

23 23 3 Matrices 3.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 (Mn,p (K), +, .) est un K-espace vectoriel . . . . . . . 3.1.3 Sous-espaces des matrices diagonales et triangulaires 3.1.4 Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . 3.2 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Matrice colonne des composantes d’un vecteur . . . . 3.2.2 Matrice des composantes

nouveaux concepts (dualit´, polynˆmes d’endomorphismes, e e e o valeurs propres et sous-espaces propres, r´duction des endomorphismes d’un espace vectoriel et des e MP 3 endomorphismes sym´triques d’un espace vectoriel euclidien, r´duction des matrices). Il comporte en outre e e quelques compl´ments d’alg`bre g´n´rale (arithm´tique, polynˆmes). e e e e e o d) Secteur de la g´om´trie et de ses interventions e e Une vision g´om´trique des probl`mes impr´gne l’ensemble du programme de math´matiques

3 juillet 1995, sur la protection des droits d’auteur. Annexe A Exercice 1 ⎡ 1 3 3⎤ Pour les matrices A = ⎢ ⎥ et B = ⎣ 2 4 1⎦ ⎡2 4⎤ ⎢1 5 ⎥ , calculer AB, A′B′, et BA. ⎢ ⎥ ⎢6 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 22 10 ⎤ ⎡ 23 25⎤ ⎢ ⎥ AB = ⎢ ⎥ , BA = ⎢11 23 8 ⎥ ⎣14 30 ⎦ ⎢10 26 20 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 11 10 ⎤ A′B′ = (BA)′ = ⎢ 22 23 26 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢10 8 20 ⎥ ⎣ ⎦ Exercice 2 Prouver que tr(AB) = tr(BA) avec A et B deux matrices quelconques, non nécessairement carrées, pouvant être multipliées. Le i-ième élément de la diagonale

X. Matrices - Déterminants - Systèmes d'équations 1. Introduction. 1.1 Exemple Afin de récolter de l'argent pour le camp, un groupe de guides vend des galettes et des truffes au chocolat. La première patrouille a vendu 10 paquets de galettes et 8 paquets de truffes. La seconde patrouille a vendu 12 paquets de galettes et 10 paquets de truffes. Et enfin la troisième patrouille a vendu 15 paquets de galettes et 5 paquets de truffes.  10 8    Le résultat de ces ventes peut être représenté

66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30 Applications linéaires 68 31 Espaces vectoriels de dimension finie 69 32 Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . 40.4 Polynômes caractéristique