Matrice triangulaire

E Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Feuille d’exercices n◦ 2 – calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III Matrices I 19 Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 B Définition générale . . . .

dimension n, muni d’une base quelconque ; ii) tout élément de cet espace est transformé linéairement, par chaque opération du groupe, en un élément du même espace. Alors, à chaque opération de symétrie peut être associée la matrice de cette transformation linéaire, qui est une matrice carrée n × n dont l’expression dépend de la base. L’espace vectoriel constitue un espace de représentations, cette base est la base de la représentation et n est la dimension de la représentation. 3.2.2. Un premier espace

le paramètre a pour que le déterminant de la matrice [pic]soit nul. Soit a un réel quelconque et A la matrice.                                     [pic]     - Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle non inversible ? Soient les matrices A et B suivantes :                                             [pic] Existe-t-il des couples (a, b) de nombres réels tels que les matrices A et B soient inverses l'une de l'autre ? Soient les matrices A et B suivantes :                                                

Exercice 2 1 e 2.1 Calcul de la puissance n`me de A. 1. Comme B= µ 3 −6 1 −2 ¶ et C = µ 2 −6 1 −3 un calcul rapide et sans commentaire particulier donne que : ¶ BC = CB = 0M2 (R) (1) Notez bien que les matrices B et C commutent. 2. _ • Montrons que la proposition Pn :"B n = B" est vraie pour tout entier n non nul. — L’initialisation est bien vérifiée car : B1 = B — Supposons que la proposisiton Pk soit vraie pour tout k ∈ [|1, n|] , n fixé dans N∗

C de l’espace il passe exactement un plan noté parfois ( ABC ) ou simplement ABC : • Si quatre points appartiennent à un même plan on dit qu’ils sont coplanaires, sinon ils forment un tétraèdre (c’est-à-dire une pyramide à quatre faces triangulaires) : A ∉ BCD B ∉ ACD C ∉ ABD D ∉ ABC • Deux plans π1 et π2 de l’espace peuvent être : confondus : π1 = π2 - 15 - 1 re CD – math I – Géométrie analytique strictement parallèles : π1 ∩ π2 = ∅ sécants : π1 ∩ π2 = d (l’intersection

dans laquelle on le calcule. Proposition 5 : On a : i/ det (IdE ) = 1: ii/ 8u; v 2 End (E) : det (u v) = det u: det v: iii/ 8u 2 End (E) : u inversible ssi det u 6= 0, et dans ce cas : det u 1 = (det u) 1 Preuve : II-2 Déterminant 0 d’une matrice carrée 1 a11 a12 ::: a1n B : C B C C 2 Mn (K), les colonnes de A représentent des B Soit A = (aij ) = B : C @ : A an1 an2 : ::: ann vecteurs c1 ; c2 ; :::; cn de Kn repérés relativement à sa base canonique Bc = (e1 ; e2 ; :::; en ) ;

................................................................ 4 Définition d’un système de Cramer ........................................................................................................... 4 Résolution par l’inversion de la matrice du système ................................................................................. 5 Résolution par la méthode de Cramer ........................................................................................................ 6 II-2 Résolution

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 B) MATRICES E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels. RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de [|1, n|] × [|1, p|] dans K ; pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n ; 1 j p j     a11 a12 a1p a1j  a21 a22   a2p  ... = i   on la représente aussi par le tableau

d’opérations sur le système d’équations qui, sans changer ses solutions, le transforment en un système triangulaire, dont la résolution est facile. Ces opérations sont : Permuter deux équations ; Ajouter à une équation une autre équation multipliée par un coefficient non nul. REPRESENTATION : Nous représenterons le système par la matrice (n, n + 1) A est donc la matrice obtenue en ajoutant à la matrice des coefficients du système une dernière colonne formée des seconds membres des équations. DESCRIPTION

co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace vectoriel r´el mais n’est pas un espace vectoriel complexe. e d. Il vient imm´diatement que la compos´e de deux applications semi-lin´aires est lin´aire. e e e e I.2. Matrice associ´e a une application semi-lin´aire. e ` e a. Soit A = aij avec aij la ieme composante de u(ej ) sur la base B = (ek ). Soit x = n n k=1 £ ¢ n xk ek et y = u(x). k=1 Il vient y = k=1 xk u(ek ) donc yi = xk aik . Ainsi Y = AX