Médiatrice

d’abscisses 1,5 et 14 Exercice 7 360 1. Le pentagone est régulier alors ̂ = = 72° 5 2. a. Le triangle AOB est isocèle en O puisque les points A et B sont sur le cercle de centre O. La hauteur issue de O est donc également la bissectrice de ̂ , la médiatrice de [AB] et la médiane issue de O AM AM b. Le triangle AOM est rectangle en M. Donc sin ̂ = soir sin 36 = AO 238 Par conséquent AM = 238 × sin 36 = 139,89  140 m c. Le périmètre du Pentagone est donc environ égal à 5 × 140 × 2 = 1400 m

WK2 où H et K sont les projetés orthogonaux respectifs de O sur (AA') et (BB') Comme W, H et A' sont alignés dans cet ordre, on a : WA' = WH + HA' De même : WB = WK + KB' En outre, H et K sont les milieux des segments [AA'] et [BB']. (Car la médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle). On a alors : 6 = WH + 3 = WK + D'où : WO2 = (6 7 2 5 2 7 2 5 25 1 26 ) + (3 - )2 = + = 2 2 4 4 4 WO = 26 2 Donc Et, toujours la propriété ci-dessus : ® ® WA . WA¢ = WO2 - R2 ® ® 26 50 R2 =

de [BC], G le barycentre du système { (A ; – 1), (B ; 1), (C ; 1) } et H le barycentre du système {(A, − 2);(B,3); (C, 3)} . 1) a- Démontrer que ABGC est un carré. b- Construire G. 2) a- Construire le point H. b- Justifier que G appartient à la médiatrice de [BC]. 3 3) Montrer que : AH = AG. 4 4) a- Démontrer que GA 2 = 2a 2 . b- Déterminer et construire l’ensemble ( Γ ) des points M du plan tels que MB2 + MC 2 − MA 2 = a 2 . 5) a- Démontrer que 2MA 2 − MB2 − MC 2 = − 4OM.OA . b- Soit l’ensemble

du chalet ? Etape 1 : Modélisation et conjecture avec logiciel de géométrie dynamique On modélise la situation par le carré ABCD ci-contre, de côté 4 ; I est le milieu du segment [CD] et J est le milieu du segment [AB]. M est un point de la médiatrice du segment [CD], situé « au-dessus » de [CD] . Les droites (MC) et (MD) coupent la droite (AB) en respectivement E et F. Il s’agit de minimiser l’aire du triangle MEF. A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer l’aire minimale

informations fournies. Figure 1Figure 2Figure 3 Exercice 2 ABC est un triangle rectangle en A tel que : AC = 3,6 cm et BC = 6 cm. a) Faire la figure ; Elle sera complétée au fur et à mesure. b) Calculer la valeur exacte de AB. c) Tracer la médiatrice du segment [BC]. Elle coupe la droite(AC) en E. d) Démontrer que le triangle BEC est isocèle. e) Tracer la droite (d1) parallèle à la droite (AB) passant par C puis la droite (d2) parallèle à la droite (AC) passant par B. Elles sont sécantes en

les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points Partie A : tracé d’une figure 1. Voir la figure à la fin de l’exercice : on construit le cercle de diamètre [AB], avec la médiatrice de [AB] qui coupe ce cercle en deux points dont l’un est le point D. 2. Même construction : la médiatrice de [OA] coupe le cercle de diamètre [OA] en deux points dont l’un est E. 3. D appartient à l’axe des ordonnées et a même ordonnée que A donc DA ⊥ DB. Le triangle DAB est rectangle en D. D’autrte

si deux droites sont parallèle alors leurs images par une symétrie axiale sont parallèles. MEDIATRICE D' UN SEGMENT: La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Si un point est sur la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. si un point est équidistant des extrémités  d'un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.  CERCLE : un cercle est l'ensemble de tous les points équidistants du centre

x 2 + y 2 et y2 + x2 = x2 + y2 . On a donc bien : OM = ON. c) Comme x et y sont strictement positifs, les points I et O sont distincts (car x +y ≠ 0 ) ; la droite D contient deux points (O et I) équidistants de M et N, 2 c’est donc la médiatrice de [MN]. On déduit de la question précédente que le symétrique par rapport à D du point de coordonnées ( x  ;  y ) a pour coordonnées ( y  ;  x ). Corrigé séquence 1 – MA12 7 © Cned - Académie en ligne ᕢ a) Soit M(x ; y) un point

Coordonnées de A : Par hypothèse le triangle IEK est équilatéral donc . De plus le triangle AOI est isocèle en O il est donc aussi équlatéral Donc On en déduit donc  ; Coordonnées de B: Le point B est symétrique de A par rapport à (OE), médiatrice de [KI]. On en déduit donc : EXERCICE 4 : / 6 points Difficulté : Soit (C) le cercle trigonométrique, de centre O, (O,I,J) un repère orthonormé; I le point de coordonnées (1;0) et J( 0;1) Un point mobile M parcourt (C) d’un mouvement

+  AH (relation de Chasles)   D'où : OA + AH =  OA + 2 OA ' Donc :  AH = 2 OA ' 3) A' milieu de [BC] O centre du cercle circonscrit au triangle ABC O : point de concours des médiatrices de ABC. D'où : (OA') est une médiatrice du triangle ABC Or, par définition, on sait que la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Alors, (OA') ⊥ (BC) Comme  AH = 2 AH et  OA ' ,  OA ' sont deux vecteurs colinéaires d'où : (AH) // (OA') Propriété : Si