Produit de convolution

z du système H(z). 6- Déduire alors la transformée en Z inverse de z/(z − a). Formulaire Energie, puissance moyenne,... +∞ +T /2 1 T →+∞ T |x(t)|2 dt Ex = |x(t)|2 dt Px = lim −∞ −T /2 Transformée de Fourier et convolution +∞ +∞ x(t)e−j2πf t dt X(f ) = X(f )ej2πf t df x(t) = −∞ x(t − t0 ) −→ −∞ −j2πf t0 TF x(t)e X(f )e 1 f X( ) x(at) −→T F |a| |a| j2πf0 t x∗ (t) −→T F X ∗ (−f ) dx(t) −→T F j2πf X(f ) dt tx(t) −→T

Convolution Corrélation Convolution Corrélation Plan du cours Cours de Traitement Du Signal Convolution/corrélation 1 Convolution 2 Corrélation guillaume.hiet@rennes.supelec.fr ESTACA 6 septembre 2007 Guillaume HIET Guillaume HIET Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 1/10 Convolution Corrélation Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 2/10 Convolution Corrélation Définition Propriétés Le produit de convolution exprime la quantité de recouvrement

d’une image par le filtre de Butterworth d’ordre n 33 Segmentation par contour : Approche classique  Détection de contours par masques Elles proviennent d’estimateurs locaux des dérivées discrètes d’une image. En effet, elles correspondent à la convolution d’une image par un filtre 2D de réponse impulsionnelle finie. Exemple : filtre de Sobel Segmentation par contour : Approche classique 34  Détection de contours par passage par zéro Ici on se sert de l’opérateur Laplacien pour la détection des

Licence 3 ESEA, Option Robotique / Vision, semaine 4 1 Introduction Filtrage par convolution Filtres de lissage Filtres de contours Plan du cours 1 – Introduction Principe des transformations locales Définitions dans l'espace discret : distances, voisinage 2 – Filtrage linéaire par convolution Principe du filtrage linéaire : convolutions 1D et 2D Calcul pratique du résultat Caractéristiques du masque de convolution 3 – Filtres de lissage Bruits dans une image Filtres de lissage linéaires Filtres

Complément mathématique .................................................................................... 3 1.1 Impulsion de Dirac ................................................................................................... 3 1.2 Produit de convolution ............................................................................................ 4 2 Définition de la transformée de Fourier .................................................................... 4 3 Propriétés de la TF

Chapitre 1 Hiver 2008 2 / 74 Introduction Contenu Contenu R´vision des concepts de base : p´riode, d´phasage e e e Signaux communs Caract´risation e Classification Op´rations sur les signaux e Syst`mes : d´finitions et propri´t´s e e ee Convolution Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 1 Hiver 2008 2 / 74 R´vision des concepts de signaux e Signal sinuso¨ ıdal Signal sinuso¨ ıdal x(t) = A cos(ωt + φ) A Amplitude 0 −A Temps La p´riode T : le temps n´cessaire

. .   y (0) = h(0)x (0) + h(1)x (−1) + · · · + h(L)x (−L) L y (n) = ℓ=0 h(ℓ)x (n − ℓ) Pr .Cyclique L =⇒ y (n) = ℓ=0 h(ℓ)x (n − ℓ mod N) Transformation d’une convolution en une convolution circulaire Si convolution (T1 , T2 ), Y (e2iπn/N ) = H(e2iπn/N )X (e2iπn/N ) Si convolution circulante (C), Y (e2iπn/N ) = H(e2iπn/N )X (e2iπn/N ) Philippe Ciblat OFDM : principe et applications 9 / 21 Principe de l’OFDM Détection en OFDM Approche alternative Grâce

imaginaire pure impaire Imaginaire pur X imaginaire pure paire X réelle impaire 1.2.2.6 Convolution Définition : Soient deux signaux x et y à valeurs continues et à temps continu. On définit le produit de convolution des deux signaux, ou plus simplement leur convolution, par : (x ¤ y)(t) ¢= Z +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)dµ (1.12) On vérifie aisément que (x ¤ y)(t) = (y ¤ x)(t), c’est-à-dire que la convolution est commutative, et donc que : Z +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)dµ = Z +1 ¡1 x(t ¡ µ)y(µ)dµ (1.13)

de F OURIER . . . . . . . . . . . 3.3 Relations d’incertitude pour les signaux d’énergie finie . . . . . . . 4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Filtres et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Causalité et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Interprétation graphique de la convolution . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Réponse en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Conséquences

laquelle le terme de "filtre d'accentuation" est parfois utilisé.    les filtres passe‐bande permettant d'obtenir la différence entre l'image originale et celle obtenue  par application d'un filtre passe‐bas.    Le filtre    Un filtre est une transformation mathématique (appelée produit de convolution) permettant,  pour chaque pixel de la zone à laquelle il s'applique, de modifier sa valeur en fonction des  valeurs des pixels voisins, affectées de coefficients.     En numérique, le filtre est représenté mathématiquement par un tableau de nombres (une matrice)