Sous-groupe normal

Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note

un ensemble muni de deux lois de composition interne notées + et ×, telles que (A, +) soit un groupe abélien, et telle que × soit associative et distributive sur +. En revanche, il n’existe pas nécessairement d’élément neutre pour la loi ×. • Un anneau est donc un pseudo-anneau admettant un élément neutre 1A pour la loi ×. • Une partie I de A est appelée idéal bilatère de A si I est un sous-groupe additif de (A, +), et si pour tout x ∈ I et y ∈ A, xy ∈ I et yx ∈ I. • Le centre C(A) d’un pseudo-anneau

THÉORÈME DE CAYLEY Théorème Tout groupe G, d'ordre n, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn. Démonstration : Nous allons montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de Bij (G) (groupe des bijections de G dans lui même) On note multiplicativement la loi de G. 1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx   (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective. En

Th´eor`emes de Sylow Exercice 1 Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si H et G/H sont des p-groupes, il en est de mˆeme de G. Exercice 2 Soit G un p-groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que H ∩ Z(G) n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre. En d´eduire que le centre Z(G) d’un p-groupe est non trivial. Exercice 3 Soit G un p-groupe d’ordre pr . (a) Montrer que pour tout entier k r, G poss`ede un sous-groupe distingu´e d’ordre pk . (b) Montrer qu’il existe

(G, ×) un groupe et H un sous groupe de (G, ×). On définit une relation binaire R sur G par : xRy ⇔ xy −1 ∈ H Montrer que R est une relation d’équivalence et en décrire les classes d’équivalence. xSy ⇔ (xRy et yRx) et xT y ⇔ (xRy ou yRx) Les relations S et T sont-elles des relations d’équivalences ? Exercice 2 [ 02644 ] [correction] Soit E un ensemble et A une partie de E. On définit une relation R sur ℘(E) par : Exercice 6 [ 03453 ] [correction] Soit (G, .) un groupe de cardinal

Mathématiques en MPSI 1 x+y . 1 + xy 1) Montrer que ⊕ est une loi interne sur ] − 1, 1[. 2) Montrer que ] − 1, 1[, ⊕ est un groupe commutatif. On pose, pour tous x, y ∈ ] − 1, 1[ : a) Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait d = a ∧ b. b) Montrer que aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z. En particulier, aZ ∩ bZ = mZ pour un certain m ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait m = a ∨ b. x⊕y = ————————————–

18 Janvier 1. N 2. 3. - Récurrence : Voir semaines précédentes Dénombrement : Voir semaines précédentes : Voir semaines Exemples de calcul de sommes avec des coefficients binômiaux précédentes 4. 5. Lois dans un ensemble - Groupes : Voir semaines précédentes Anneaux-Corps commutatifs :Voir semaines précédentes : 6. Q -R Voir semaine K13 Acknowledgement PAS d’exercices sur les paragraphes 8 et 9 7. Vocabulaire général sur les suites : monotonie , opérations

que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à Sn . c) Vérifier que t (P (σ)) = P (σ −1 ) Exercice 38 [ 01268 ] [correction] Soit E l’ensemble des matrices de M2 (K) de la forme A= Exercice 35 [ 01264 ] [correction] Montrer que Sn (R) et An (R) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn (R). 1 i,j n a+b −b b a−b avec (a, b) ∈ K 2 a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M2 (K), en donner une base. b) Montrer que E est un sous-anneau commutatif de M2 (K).

matrices symétriques soit encore une matrice symétrique. ∈ Mn (R) Exercice 22 [ 01264 ] [correction] Montrer que An (R) et Sn (R) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn (R). appelée matrice de permutation associée à σ. a) Montrer que ∀(σ, σ ) ∈ S2 , P (σ ◦ σ ) = P (σ)P (σ ) n b) En déduire que E = {P (σ)/σ ∈ Sn } est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à Sn . c) Vérifier que t Structures formées de matrices Exercice 23 Soit [ 01265 ] (P (σ)) = P (σ −1 ) [correction]

Espaces Vectoriels, Base et Dimension Exercice 1 D´terminer lesquels des ensembles E1 , E2 , E3 et E4 sont des sous-espaces vectoriels e 3 de R . E1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = x + y + z = 0}. E2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = 0}. E3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 1}. E4 = {(x, y, z) ∈ R3 ; z(x2 + y 2 ) = 0}. Exercice 2 Parmi les ensembles suivants reconnaˆ ceux qui sont des sous-espaces vectoriels. ıtre E1 = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + a = 0, et x + 3az = 0 E2 = {f ∈ F(R, R); f (1) = 0} ,