Analyses

Pages: 5 (1064 mots) Publié le: 5 janvier 2012
Corrections de quelques exercices de la feuille no 3 : Formes lin´aires et espace dual e
(1) (*) Soit E = IR3 . Montrer que toutes les formes lin´aires sur E s’´crivent f (x1 , x2 , x3 ) = a1 x1 + e e a2 x2 + a3 x3 D´monstration. E est un espace vectoriel de dimension 3 et soit e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E, tout vecteur x de e E s’ecrit, de maniere unique, sous la forme x= 3 xi ei avec xi ∈R,choisissons l’ensemble {1} (ensemble a un seul i=1 element), comme base de R Soit la proposition : Soient E et R deux espaces vectoriels,e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E et A = (a1 , a2 , a3 )une famille de vecteurs de R alors il existe une unique application lin´aire : f : E −→ R telle que f (ei ) = ai pour tout indice e i=1,2,3 Toute forme lin´aire f sur E est une application lin´aire de Edans R. On la repr´sente alors dans les bases e et {1} e e e par : f : E−→ R   x1 3 3 x−→ f(x)=f( i=1 xi ei )= i=1 xi f (ei )= x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + x3 f (e3 )= x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = (a1 , a2 , a3 ) x2  x1 (2) (*) Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire , et x0 ∈ E. Montrer que l’application u : x ∈ E → x0 , x0 x, x0 est une forme lin´aire sur E. D´terminer son noyau. Etl’application e e x ∈ E → x − x0 , x0 ?
e D´monstration. Montrons que l’application u(x) = x0 , x0 x, x0 , est une application lin´aire e Soit λ ∈ R, u(λx) = x0 , x0 λx, x0 = λ x0 , x0 x, x0 = λu(x) Soit (x, y) ∈ IR2 , u(x+y) = x0 , x0 x + y, x0 = x0 , x0 x, x0 + x0 , x0 y, x0 = u(x)+u(y) C’est une forme lin´aire e d’apr`s la propri´t´ de bilin´arit´ du produit scalaire. e e e e e D´termination dunoyau ker u e u(x) = x0 , x0 x, x0 ker u = {x ∈ E, x0 , x0 x, x0 = 0} = {x ∈ E, x, x0 = 0} = {x0 ⊥ } c’est un hyperplan. si x0 = 0 alors ker u = E ker u = {x ∈ E, 0 = 0} alors u(x) = 0 ,donc ker u = E x ∈ E → x − x0 , x 0 Soit v(x) = x − x0 , x0 v(0) = −x0 , x0 = - x0 2 = 0 si x0 = 0 si x0 = 0, v n’est pas une forme lineaire . si x0 = 0, v(x) = 0E qui est une forme lineaire.

(3) (*) Soit E = C 0([0, 1]), ensemble des fonctions continues sur [0, 1]. Montrer que f ∈ E → f (0) + 1 t f (t)dt est une forme lin´aire sur E. e 0 D´monstration. Pour λ ∈ R et f, g ∈ E, et avec u(f ) = f (0) + e
u(f + g) = u(f ) + u(g) d’apr`s les propri´t´s de lin´arit´ de l’int´grale. e e e e e e
1 0

t f (t)dt ∈ IR, on a bien u(λf ) = λu(f ) et

(4) (**) Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire, , f et g deux formes lin´aires non nulles e sur E. Montrer que l’application f + g est une forme lin´aire sur E. Existe-t-il une relation entre le e noyau de f + g et ceux de f et g ? D´monstration. Soit λ ∈ R et x, y ∈ E, e
(f + g)(λx + y) = f (λx + y) + g(λx + y) = λf (x) + f (y) + λg(x) + g(y) = λ(f + g)(x) + (f + g)(y) f+g est une forme lin´aire. e ker f = {x ∈ E, f (x) = 0} ker g = {x ∈E, g(x) = 0} ker(f + g) = {x ∈ E, f (x) = −g(x)} Soit x ∈ ker f ∩ ker g alors f (x) = −g(x) = 0 =⇒ x ∈ ker(f + g) conclusion : (ker f ∩ ker g) ⊂ ker(f + g) Si dimE = n < ∞ alors dim ker(f + g) = n − 1 si f + g =0 et si f + g = 0 alors dim(ker f + g) = 1 Supposons f+g = 0 dim ker f = n-1 = dim ker g ((ker f ∩ ker g)) ≤ n-1

1

2

Licence M.A.S.S. deuxi`me ann´e e e

on verra que dim(ker f ∩ker g) ≥ n-1 dim(ker f ∩ ker g) = n − 2 si (ker f = ker g) comme f et g sont proportionnelles ; les deux noyaux reviennent au mˆme. e

(5) (***) Soit E l’ensemble des suites num´riques (un )n∈IN . Montrer que F = (un )n∈IN ∈ E, limn−→∞ 2n |un+1 − e un | = 0 est un s.e.v. de E. Montrer que dim F = ∞. Montrer que l’application qui a (un ) ∈ F associe limn∈N un existe et est une forme lin´aire deF. e D´monstration. On montre d’abord que F est un e.v. Pour cela on montre que F est un s.e.v. de E l’ensemble des e suites num´riques. Ceci est vrai car : e 1/ la suite nulle appartient ` F ; a 2/ pour tout λ ∈ IR et toute suite (un ) ∈ E, il est clair que (λun ) ∈ F car limn−→∞ 2n |λ(un+1 − un )|=limn−→∞ 2n |λ||un+1 − un |=|λ|0 = 0 ; 3/ si (un ) et (vn ) sont deux suites de E, on sait que...
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