BTS SE 2001, corrigé, par Elodouwen
EXERCICE 1
PARTIE A
1) Solution particulière: h ( t ) = 10 − β donc h′ ( t ) = 0 donc h′ ( t )
+ h ( t ) = 10 − β donc h est solution de ( E1 ) .
2
y′
+ y = 0 ⇔ y ( x ) = λ e−2 x , λ ∈
2) Solution homogène:
2

( (

)

)

Solution générale: y ( x ) = λ e−2 x + 10 − β , λ ∈

4) f∞ = lim β e −2 x − 1 + 10 = − β + 10

3) Solution particulière avec condition initiale: y ( 0 ) = 10 ⇔ λ + 10 − β = 10 ⇔ λ = β d’où y ( x ) = β e−2 x + 10 − β .

PARTIE B
1) On va appliquer la formule selon laquelle t F ( p)
→
∫0 f ( u )U (u ) du ⎯⎯ p par Laplace. Ici nous avons:
10
− G ( p ) . Donc:
→
f ( u ) = 10U ( u ) − g ( u ) ⎯⎯ F ( p ) = p t
10 G ( p )
→
⎣
⎦
∫0 ⎡10U (u ) − g (u )⎤ du ⎯⎯ p2 − p , donc:
130 13G ( p )
→
i ( t ) ⎯⎯ 2 − en multipliant par 13. p p t 1
2) L’équa diff g′ + g = 13 ∫ 0 ⎡10U (u ) − g (u )⎤ du + (10 − β )U (t )
⎣
⎦
2
se transforme par Laplace en:
1
130 13G ( p) 10 − β pG ( p ) − g (0+ ) + G ( p ) = 2 −
+
2 p p p On rassemble les G(p) à gauche:

(

)

On simplifie: y ( x ) = β e−2 x − 1 + 10 graphique: x→+∞

(

)

BTS Systèmes Électroniques 2001, corrigé, page 1 sur 4

⎛p
13 ⎞
130 10 − β 1
+ g ( 0+ )
⎜ +1+ ⎟ G ( p ) = 2 + p⎠ p p 2
⎝2
130 10 − β
+
+5 p2 p
G ( p) = car g ( 0+ ) = 10 . p 13
+ 1+
2
p
On multiplie par 2 p 2 en haut et en bas:
G ( p) =

→ sin ( 5t )U (t ) ⎯⎯

5
5
→ donc e−t sin ( 5t )U (t ) ⎯⎯
2
p + 25
( p +1) + 25
2

Par un simple produit en croix on trouve maintenant:
2 β −t
2β
→ e sin ( 5t )U (t ) ⎯⎯ d’où: 2
5
( p +1) + 25
10U (t ) −

260 + (20 − 2 β ) p +10 p 2

2 β −t
10
2β
→
e sin (5t )U (t ) ⎯⎯
−
5 p ( p +1)2 + 25

D’où g (t ) = 10U (t ) −

p ( p 2 + 2 p + 26 )

3) Maintenant pour trouver ce que demande l’énoncé, on peut soit connaître la technique des éléments simples, et le calcul est long… soit partir, tout simplement, de ce que l’énoncé donne:
10
2β
10
2β
−