Chapitre 5

Pages: 3 (728 mots) Publié le: 28 novembre 2012
LIMITES I. Notion de limites : Dans tout le paragraphe f est une fonction définie sur un ensemble noté Df . 1. Limite en a de f : (a ∈ D f ) Soit a un réel quelconque de Df . Le théorème suivant estadmis : Si f est une fonction dérivable sur Df , alors pour tout réel a de Df : lim f (x ) = f (a ) .
x →a

Exemple : toutes fonctions polynôme ou rationnelle vérifient ce théorème ainsi :

Soitf une fonction définie sur R par : f (x ) = 0, 5x 2 − 3x + 3 . Alors : lim f (x ) = f (2) = −1 .
x →2

2. Limite en a de f : (a ∉ Df )

On se base sur des lectures graphiques.

3. Limite àl’infini :

4. Limites des fonctions usuelles :

La fonction carrée

La fonction cube

Les fonctions puissances La fonction racine carrée
(x a x n )

BTS CGO_Limites 1/5

La fonction inverseLes fonctions (x a

1 ) xn

La fonction ln

La fonction (x a e x )

5. Limites et opérations :

Dans ce paragraphe, f et g désignent deux fonctions définies sur un même ensemble D . areprésente soit un réel, soit +∞ , soit −∞ . l et l ' sont deux réels. On admet les résultats suivants.
a. Somme de deux fonctions :

lim f (x )
x →a

lim g(x )
x →a

lim( f (x ) + g(x ))
x →al
l l +∞ −∞ +∞

l'
+∞ −∞ +∞ −∞ −∞

l +l ' +∞ −∞ +∞ −∞ Forme indéterminée

« Forme indéterminée » ne signifie pas nécessairement qu’il n’y a pas de limite, le résultat dépend des différentscas …
Exemples :

• lim (x 2 + 3x + 4) =
x →+∞ x →+∞

    lim (x 3 − 7 − x 3 ) = •  x →+∞ 3  lim (−x ) =  x →+∞   b. Produit de deux fonctions : lim (x 3 − 7) = lim f (x )
x →a



x→+∞ x →+∞

lim (x + 2) = lim (8 − 2x ) =

    lim (x + 2 + 8 − 2x ) =  x →+∞    

lim g(x )
x →a

lim( f (x ) × g(x ))
x →a

l l>0 l 0 l 0

1 ) f (x ) 1 l 0 0

+∞ −∞

0 etf < 0

Une étude du signe de la fonction f sera donc souvent utile.
Exemple :

1 . 2x − 4 Déterminer les limites de h aux bornes de son ensemble de définition. Soit h la fonction définie...
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