Chapitre 5
728 mots
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LIMITES I. Notion de limites : Dans tout le paragraphe f est une fonction définie sur un ensemble noté Df . 1. Limite en a de f : (a ∈ D f ) Soit a un réel quelconque de Df . Le théorème suivant est admis : Si f est une fonction dérivable sur Df , alors pour tout réel a de Df : lim f (x ) = f (a ) . x →aExemple : toutes fonctions polynôme ou rationnelle vérifient ce théorème ainsi :
Soit f une fonction définie sur R par : f (x ) = 0, 5x 2 − 3x + 3 . Alors : lim f (x ) = f (2) = −1 . x →2
2. Limite en a de f : (a ∉ Df )
On se base sur des lectures graphiques.
3. Limite à l’infini :
4. Limites des fonctions usuelles :
La fonction carrée
La fonction cube
Les fonctions puissances La fonction racine carrée
(x a x n )
BTS CGO_Limites 1/5
La fonction inverse
Les fonctions (x a
1 ) xn
La fonction ln
La fonction (x a e x )
5. Limites et opérations :
Dans ce paragraphe, f et g désignent deux fonctions définies sur un même ensemble D . a représente soit un réel, soit +∞ , soit −∞ . l et l ' sont deux réels. On admet les résultats suivants.
a. Somme de deux fonctions :
lim f (x ) x →a
lim g(x ) x →a
lim( f (x ) + g(x )) x →a
l l l +∞ −∞ +∞
l'
+∞ −∞ +∞ −∞ −∞
l +l ' +∞ −∞ +∞ −∞ Forme indéterminée
« Forme indéterminée » ne signifie pas nécessairement qu’il n’y a pas de limite, le résultat dépend des différents cas …
Exemples :
• lim (x 2 + 3x + 4) = x →+∞ x →+∞
lim (x 3 − 7 − x 3 ) = • x →+∞ 3 lim (−x ) = x →+∞ b. Produit de deux fonctions : lim (x 3 − 7) = lim f (x ) x →a
•
x →+∞ x →+∞
lim (x + 2) = lim (8 − 2x ) =
lim (x + 2 + 8 − 2x ) = x →+∞
lim g(x ) x →a
lim( f (x ) × g(x )) x →a
l l>0 l 0 l 0
1 ) f (x ) 1 l 0 0
+∞ −∞
0 et f < 0
Une étude du signe de la fonction f sera donc souvent utile.
Exemple :
1 . 2x − 4 Déterminer les limites de h aux bornes de son ensemble de définition. Soit h la fonction définie sur