Limite Et Continuit

6713 mots 27 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er septembre 2014

Enoncés

Limite et continuité
Généralités sur les fonctions
Exercice 1 [ 01779 ] [correction]
Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante tandis que f ◦ f ◦ f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante.

1

f (x) = ln

x2 + 1 + x

Exercice 3 [ 01783 ] [correction]
Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.

Exercice 4 [ 00501 ] [correction]
Soit f une fonction croissante de [0, 1] dans [0, 1].
a) Montrer que s’il existe x ∈ [0, 1] et k ∈ N tels que f k (x) = x alors x est un point fixe pour f .
b) Montrer que f admet un point fixe.

Calcul de limites
Exercice 5 [ 01784 ] [correction]
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :



1+x− 1−x x− x
b) lim
c) lim xx
a) lim x→+∞ ln x + x x→0 x→0+ x 1−x
1/x
d) lim ln x. ln(ln x)
e) lim (1 + x)
f) lim x→1+ x→0 x→1 arccos x

Exercice 6 [ 01785 ] [correction]
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :

b) lim

c) lim ex−sin x

e) lim x 1/x

f) lim x 1/x

x→+∞

x→+∞

x→0

Exercice 7 [ 01786 ] [correction]
Déterminer les limites suivantes :
a) lim

x→0+

Exercice 2 [ 01780 ] [correction]
Etudier la parité de la fonction f définie par

x cos ex x→+∞ x2 + 1

1 x→0 x x + arctan x
d) lim x→+∞ x

a) lim x. sin

b) lim x 1/x

1/x

x→0

c) lim x2 1/x x→0 Propriétés des limites
Exercice 8 [ 01789 ] [correction]
a) Soit g : R → R une fonction périodique convergeant en +∞. Montrer que g est constante. b) Soient f, g : R → R telles que f converge en +∞, g périodique et f + g croissante. Montrer que g est constante.

Exercice 9 [ 01788 ] [correction]
Soit f : R → R une fonction T périodique (avec T > 0) telle que lim f existe dans
+∞

R.
Montrer que f est constante.

Exercice 10 [ 01787 ] [correction]
¯ et f : ]a, b[ → R une fonction croissante.
Soient a < b ∈ R
Montrer que l’application x → lim f est croissante.
+
x

Etude de continuité
Exercice 11 [ 01793 ]

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