3

Chapitre

Variations de fonctions et problèmes

• Énigme 1
Ꮿf

2 0 0 1 –3 2
M A X I M U M

Ꮿk

• Énigme 2
Dans le carré de 1 cm de côté, on considère la surface
1
du demi-carré d’aire cm2. À chaque étape, on ajoute
2
à la surface précédente la moitié de la surface restante.
Ainsi on obtient successivement des aires (en cm2) égales à :
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
; + ou + 2 ; + + ou + 2 + 3, etc.
2 2 4
2 2 2 4 8
2 2 2
Cette quantité augmente bien à chaque étape, mais ne dépassera jamais 1, valeur de l’aire du carré.

1. Vérifier les acquis
a) f(2) = 3 × 2 + 5 = 11 g(– 3) = (– 3)2 – 3 × (– 3) + 5 = 23
b) On cherche x tel que f(x) = 1 donc tel que 3x + 5 = 1.
4
Donc 3x = – 4 et x = – .
3
a) Faux
b) Vrai c) Faux
Une fonction affine est définie sur ‫ ޒ‬par f(x) = ax + b avec a et b dans ‫.ޒ‬
Une fonction linéaire est définie sur ‫ ޒ‬par f(x) = ax.
Donc f est affine, g est linéaire, h est affine et ᐉ est affine car ᐉ(x) = x2 + 10x + 25 – x2 – 4x – 4 = 6x + 21.
a) f(5) – f(1) = 2 × 5 – 3 – (2 × 1 – 3) f(5) – f(1) = 10 – 3 – 2 + 3 f(5) – f(1) = 8 f(5) – f(1) étant positif, f(5) est supérieur à f(1).
b) f(a + 1) – f(a) = 2 (a + 1) – 3 – (2a – 3) f(a + 1) – f(a) = 2a + 2 – 3 – 2a + 3 f(a + 1) – f(a) = 2
Donc f(a + 1) est supérieur à f(a) et f(a + 1) = f(a) + 2.

Ꮿh

1

Ꮿg
1

O

a) Coefficient directeur de la droite bleue : 0.
Coefficient directeur de la droite verte : 2.
1
Coefficient directeur de la droite rouge : – .
3
b) Droite bleue : f(x) = 3.
Droite verte : f(x) = 2x + 2 (on peut lire l’ordonnée à l’origine). 1
Droite rouge : f(x) = – x + b.
3
1
De plus f(– 1) = 5 donc 5 = – + b.
3
16
1
16
Alors b = . Finalement f(x) = – x + .
3
3
3
a) Ce ne peut pas être une fonction affine car il n’y a pas proportionnalité des accroissements.
b) Il y a proportionnalité des accroissements, donc cela peut être une fonction affine et comme g(0) = 0 g est peut-être une fonction linéaire.
c) Il y a