Chapitre 7

Chapitre 7.
Produit scalaire et nombres complexes
Activités et applications

z1

1. Produit scalaire et trigonométrie π Activité. La valeur du cosinus de
2

i

1. Les coordonnées des vecteurs EOA et EOB sont respectivement

2.
3.
4.
5.

΂ 122 ; 122 ΃ et ΂ 132 ; 12 ΃.

΂ π2 – x΃ + cos ΂ π2 + x΃ =

cos

π π π π cos x + sin sin x + cos cos x – sin sin x = 0.
2
2
2
2

–1

π

Application 1
Le module est donné par la formule :
|z| = 9a2 + b2 = 0(– 2)2 + (2)2 = 18.
La mise en facteur du module donne alors :
1
1
12
12
+i
= 18 –
+i
. z = 18 –
2
2
12
12
On place alors le point M sur le cercle trigonométrique
12 12
;
. dont les coordonnées sont –
2
2
On remarque que l’angle en radian qui correspond à ce
3π
sinus et à ce cosinus est
.
4

΂

΃

΂

΃

΂

cos

΃

3π

Application 2

On peut alors écrire z = 18ei 4 .

π π est la moitié de qui est un angle pour lequel
8
4
12
le cosinus est connu et vaut
. Il faut alors utiliser la for2 mule cos 2a = 1 – 2 sin2 a.
On a alors, π π
= 1 – 2 sin2 cos 2 ×
8
8
12
π
= 1 – 2 sin2
2
8
– 12 + 2 π = sin2 .
4
8
Et finalement,
L’angle

Application 2 π π

z1 = 3ei 2 et z2 = 3e– i 4 . π z1 × z2 = 9ei 4 et

΃

C

indique que l’exercice est corrigé dans le livre élève.

1 1. cos ΂x +

9

2. cos x – π

΂

4

΃

1. z2 Argument

1 – i13

2π
3

1 i13
+
2
2

π
3

΃ = cos x cos π3 – sin x sin π3

3. sin π – x

΂3 ΃

z1 × z2 Argument
–2

π

π π + sin x sin
4
4

12
(cos x + sin x).
2

= sin
=

101

13
1
cos x – sin x.
2
2

= cos x cos
=

Activité. La somme des arguments
Argument

π
3

=

Écriture exponentielle d’un nombre complexe z1

3π z1 = ei 4 . z2 Exercices d’entraînement

– 12 + 2 π π car sin > 0.
=
4
8
8

2.

π
2

i

arguments pour trouver l’argument du produit.

Application 1

sin

1–i

2. On peut conjecturer qu’il faut additionner les deux

π π π L’angle entre les deux vecteurs mesure – = .
4 6 12
12
13
12 1 16 + 12
EOA · EOB =
×
+
× =
.
2
2
2
4
2 π π
EOA · EOB = 1 × 1 × cos
= cos .
12
12
16 + 12 π cos
=
.
4
12

΂

π
4
π
2

1+i