Activité 1 : On étudie l'évolution d'une population de rongeurs sur une île pendant plusieurs années et on a représenté graphiquement les premiers termes des suites ainsi obtenues.
a)
b)
c)

d)

e)

f)

1) Dans chacun des cas suivants, décrire l'évolution observée.
On souhaite utiliser ces études pour prévoir la population à l'avenir, en supposant que l'évolution continue de la même façon.
2) Dans quel(s) cas la population semble-t-elle se stabiliser ? Autour de quelle « population limite » ?
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I) Sens de variation d'une suite
1) Définition du sens de variation
Définition 1 : Soit (un) une suite définie sur ℕ , alors :
• On dit que (un) est croissante si pour tout n, u n+ 1 ≥u n
• On dit que (un) est décroissante si pour tout n, u n+ 1 ≤u n
• On dit que (un) est constante si pour tout n, u n+ 1 =u n
2) Étude du sens de variation
Dans toute cette partie, on prend (un) une suite définie sur ℕ dont on veut étudier le sens de variation.
Propriété 1 : (Étude du signe de un+1 – un ) :
• Si, pour tout n de ℕ , on a u n+ 1 −u n ≥0
• Si, pour tout n de ℕ , on a u n+ 1 −u n ≤0

, alors la suite (un) est croissante.
, alors la suite (un) est décroissante.

u n+ 1 à 1 ) : Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors un u n+ 1
≥1 , alors la suite (un) est croissante.
Si, pour tout n de ℕ , on a un u n+ 1
≤1 , alors la suite (un) est décroissante.
Si, pour tout n de ℕ , on a un Propriété 2 : (Comparaison du quotient

•
•

Propriété 3 : (Étude du sens de variation d'une fonction) : Soit f une fonction définie sur [0 ; +∞[ et pour tout n, un = f (n)
• Si la fonction f est croissante, alors la suite (un) est croissante.
• Si la fonction f est décroissante, alors la suite (un) est décroissante.
3) Cas particuliers : suites arithmétiques et géométriques
Propriété 4 : (Sens de variation d'une suite arithmétique) : Soit