coursMEF

Pages: 17 (4103 mots) Publié le: 3 janvier 2015
Université
Paul
Sabatier

Master 2 CCPA / Parcours "calcul".

Toulouse III

M.E.F.
Michel SUDRE

Sept 2013

M.E.F.

M SUDRE

Rappels

1 Méthode de Ritz

1.1 Principe des travaux virtuels
Une fonction arbitraire, choisie pour représenter la déformée, qui est continue sur
le domaine et qui respecte les conditions limites cinématiques est dite "cinématiquement admissible".Deux exemples sont donnés ci-dessous:
F
F

L
(1)

v(x) = a.x2 + b.x3

(2)

v(x) = a. sin (

πx )
L

Si on impose un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible à un
corps élastique à l’équilibre sous l’action de forces extérieures, l’accroissement de
l’énergie élastique W est égal au travail des forces extérieures dans ce déplacement.

δW =

Fi . δ u i

Si onadmet que les forces Fi dérivent d’un potentiel U, alors le résultat précédent
peut s’exprimer comme une condition d’extémum:

Fi = - δU
δ ui

,

Fi . δ ui = - δU d’où δ (W+U) = 0

U est l’opposé de , travail des forces Fi calculé dans le déplacement virtuel (en supposant les forces Fi constantes).

W- est l’énergie potentielle totale (EPT). On montre que, pour un corps en équilibrestable, cet extrémum de l’énergie potentielle totale est un minimum absolu.
On énonce le principe du minimum de l’énergie potentielle totale ainsi:
Parmi tous les champs cinématiquement admissibles,
celui qui rend minimale l’énergie potentielle totale
correspond à la solution.

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1.2 Méthode de Ritz
La méthode de Ritz est une méthode de résolution des problèmesd’élasticité
basée sur l’application de ce principe.
Elle consiste à exprimer le champ de déplacement dans une base de N fonctions ϕi ciN
nématiquement admissibles:
Σ(ai.ϕi)
1

La meilleure approximation est celle qui rend extrémale l’énergie potentielle totale.
Elle est donc obtenue par les N relations:
δ(EPT)
=0
i=1..N
δai
La méthode peut être illustrée par le problème de flexion suivant:
AB

F

L

F

L

Utilisons la méthode de Ritz pour calculer les déplacements des points A et B.
Choisissons de représenter la déformée sur le domaine [0,2L] par:
v(x) = a1.x2 + a2.x3
et exprimons l’énergie potentielle totale W- .
2L

W est l’énergie de flexion:

2L

2
2
Mz2 dx
1.
1 . ( EIz d v ) dx
=
2
dx
2 0 EIz
2 EIz 0

en remplaçant v(x) par a1.x2+a2.x3 , onobtient: W = 4EIzL.( a12 + 12a22L2 + 6a1a2L)
est le travail des 2 efforts extérieurs:
en remplaçant v(x) par a1.x2+a2.x3 , on obtient:

-F.v(L) -F.v(2L)

= -FL2.( 5a1+ 9a2L)

Il reste à minimiser W- par rapport aux 2 coefficients a1 et a2 pour obtenir la
’meilleure solution’ compatible avec la fonction v(x) choisie,

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(W- ) = 0

a1= - 11FL
8EIz

(W- ) = 0

a2=a1
a2

F
4EIz
3

Les déplacements des points A et B sont donc :

a1.L2 + a2.L3= - 9FL
8EIz

a1.(2L)2 + a2.(2L)3 = -

7FL3
2EIz

2 Méthode des Eléments Finis

2.1 Principe
La Méthode des Eléments Finis consiste à découper la structure en éléments de forme simple et à choisir une approximation du déplacement sur chaque subdivision.
C’est une méthode de Ritz ’par morceaux’qui s’adapte aux géométries les plus complexes.
élément

noeud

Les subdivisions sont les ’éléments’ et les connexions entre éléments sont les ’noeuds’.
Il est utile que les inconnues soient des paramètres physiques. C’est pourquoi on choisit les composantes de déplacements des noeuds (déplacements nodaux).

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Par exemple: (

I, I ,

I)

pour le noeud N°I.
I(
I

I, I ,

I) sont

les déplacements nodaux.

I

I

Tous les déplacements nodaux sont rangés dans un vecteur: {U} =

.
.
.

ui
.
.
.

L’énergie potentielle totale (W- ) est calculée en fonction des n variables ui.
Il existe 3 grandes familles d’éléments. Les éléments uni-dimensionnels, bi-dimensionnels, tri-dimensionnels.
L’énergie élastique W est calculée en...
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