coursMEF
4103 mots
17 pages
UniversitéPaul
Sabatier
Master 2 CCPA / Parcours "calcul".
Toulouse III
M.E.F.
Michel SUDRE
Sept 2013
M.E.F.
M SUDRE
Rappels
1 Méthode de Ritz
1.1 Principe des travaux virtuels
Une fonction arbitraire, choisie pour représenter la déformée, qui est continue sur le domaine et qui respecte les conditions limites cinématiques est dite "cinématiquement admissible". Deux exemples sont donnés ci-dessous:
F
F
L
(1)
v(x) = a.x2 + b.x3
(2)
v(x) = a. sin (
πx )
L
Si on impose un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible à un corps élastique à l’équilibre sous l’action de forces extérieures, l’accroissement de l’énergie élastique W est égal au travail des forces extérieures dans ce déplacement.
δW =
Fi . δ u i
Si on admet que les forces Fi dérivent d’un potentiel U, alors le résultat précédent peut s’exprimer comme une condition d’extémum:
Fi = - δU δ ui
,
Fi . δ ui = - δU d’où δ (W+U) = 0
U est l’opposé de , travail des forces Fi calculé dans le déplacement virtuel (en supposant les forces Fi constantes).
W- est l’énergie potentielle totale (EPT). On montre que, pour un corps en équilibre stable, cet extrémum de l’énergie potentielle totale est un minimum absolu.
On énonce le principe du minimum de l’énergie potentielle totale ainsi:
Parmi tous les champs cinématiquement admissibles, celui qui rend minimale l’énergie potentielle totale correspond à la solution.
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1.2 Méthode de Ritz
La méthode de Ritz est une méthode de résolution des problèmes d’élasticité basée sur l’application de ce principe.
Elle consiste à exprimer le champ de déplacement dans une base de N fonctions ϕi ciN nématiquement admissibles:
Σ(ai.ϕi)
1
La meilleure approximation est celle qui rend extrémale l’énergie potentielle totale.
Elle est donc obtenue par les N relations: δ(EPT) =0 i=1..N δai
La méthode peut être illustrée par le problème de flexion suivant:
A