ECRICOME

EXERCICE 1
1. (a) Pour tout ´l´ment k de [[0, n]], Pk est un polynˆme de degr´ k donc (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une famille d’´l´ments ee o e ee de E = Rn [X]. Mieux c’est une famille de polynˆmes non nuls de E de degr´s ´chelonn´s. o e e e Ainsi (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une famille libre de E de cardinal n + 1 et E est de dimension n + 1. C’est donc une base de E.
La famille (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une base de E.

(b) • P1 (X) = X donc P1 (X) = 1. Alors P1 (X + 1) = 1 = P0 (X) = P1−1 (X).
1
1
1
X (X − k)k−1 donc Pk (X) =
(X − k)k−1 + X (k − 1)(X − k)k−2 . k! k! k! 1 k X − k + (k − 1) X =
(X − k)k−2 (k X − k) =
(X − 1) (X − k)k−2 . k! k!

• Soit k un ´l´ment de [[2, n]]. Pk (X) = ee 1
(X − k)k−2 k! 1
Pk (X) =
(X − 1) (X − k)k−2 .
(k − 1)!
Pk (X) =

Alors Pk (X + 1) =

1
1
X (X + 1 − k)k−2 =
X (X − (k − 1))k−2 = Pk−1 (X). Finalement :
(k − 1)!
(k − 1)! pour tout entier k appartenant ` {1, 2, . . . , n}, on a : Pk (X + 1) = Pk−1 (X). a (j)

Soit k un ´l´ment de [[0, n]]. Montrons que ∀j ∈ [[0, k]], Pk (X) = Pk−j (X − j). C’est plus que ce que demande le ee texte mais c’est utile pour le (c) et pour Q3 b)...
(0)

La propri´t´ est vraie pour j = 0 car Pk (X) = Pk (X) = Pk−0 (X − 0). ee Supposons la propri´t´ vraie pour un ´l´ment j de [[0, k − 1]] et montrons la pour j + 1. ee ee
(j)

(j+1)

L’hypoth`se de r´currence donne Pk (X) = Pk−j (X − j). En d´rivant on obtient : Pk e e e (j+1)

Pk

(X) = Pk−j (X − j) = Pk−j (X − (j + 1) + 1) = P(k−j)−1 (X − (j + 1) car k − j
(j+1)

Ainsi Pk

1.

(X) = Pk−(j+1) (X − (j + 1). La propri´t´ est donc vraie pour j + 1 ce qui ach`ve la r´currence. ee e e Pour tous les entiers k et j v´rifiant 0 e Remarque

(X) = Pk−j (X − j).

j

(j)

n on a : Pk (X) = Pk−j (X − j).

k

(j)

Soit k un ´l´ment de [[0, n]]. deg Pk = k donc ∀j ∈ [[k + 1, +∞[[, Pk ee = 0E .

(c) Soit P un ´l´ment de E. (P0 , P1 , . .