PRODUIT SCALAIRE
® ® Exercice de motivation : ABC est un triangle tel que AB = 4, AC = 3 et ( AB , AC ) = 70°. Problème : calculer BC. On ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n'est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en généralisant le théorème de Pythagore à tout triangle. I) Définition du produit scalaire (euclidien) et conséquences Définition 1 On se place dans une base orthonormée du plan. Soient u (x ; y) et v ( x ¢ ; y ¢ ) deux vecteurs.
® ® ® ® ® ®

A 70° 3

4

B

C

On appelle produit scalaire (euclidien) de u et v le réel noté u . v et défini par :
® ®

u . v = x x¢ + y y ¢
® ®

Exemple : Avec u (1 ; 2) et v (2 ; 3), on obtient u . v = 2 + 6 = 8. Remarques : ·
® ® ® 2 ®2 ® 2

®

®

u . u = x 2 + y 2 = | u | . On notera parfois (convention) u = | u | .

® ® ® 2 ® 2 ®2 De même, si A et B sont deux points, on a AB . AB = | AB | et on notera parfois AB = | AB | . · Si l'un des deux vecteurs u ou v est nul alors le produit scalaire est nul. Mais attention, u . v = 0
® ® ® ® ® ® n'entraîne pas nécessairement ( u = 0 ou v = 0 ). (Considérer par exemple u (1 ; 2) et v (2 ; -1) pour ® ® ® ®

s'en convaincre) · Si u et v sont colinéaires ( v = k u ) alors u . v = x.kx + y.ky = k( x 2 + y 2 ) = k | u | .
® ® ® ® ® ® ® 2

Théorème 1 Autres expressions du produit scalaire
® ®

1.

u.v=

1 ® ® 2 ® 2 ® 2 ( |u + v | -|u | -|v | ) 2

® ® ® ® ® ® ® ® ® ® 2. Lorsque u ¹ 0 et v ¹ 0 , u . v = | u | . | v | . cos( u , v ) ® ® ® ® ® ® ® ® ® 3. Lorsque u ¹ 0 , u . v = u . v ¢ où v ¢ est le projeté orthogonal de v sur la direction donnée par u .

Démonstrations : Notons (x ; y) et ( x ¢ ; y ¢ ) les coordonnées respectives de u et v . On a alors :
® ®

Produit scalaire

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

|u + v | =

®

® 2

( x + x ¢) 2 + ( y + y ¢) 2 =
® ® 2

x 2 + 2x x ¢ + x ¢ 2 + y 2 + 2y y ¢ + y ¢ 2

| u + v |