CORRIGES DES EXERCICES
H
Montrer que la fonction f : x ! y ' = − y2 . La fonction f : x !
2 1 = −   = − [ f ( x)] . 2 x  x f est donc bien une solution particulière de l’équation différentielle y ' = − y 2 .

1 est une solution particulière de l’équation différentielle : x
1
2

1 est dérivable sur R* et ∀x∈R* x

f '( x) = −

I

Sauriez-vous trouver une solution particulière (non forcément dérivable sur R) de l’équation 1 ? y' = 2y 1 1 . La fonction f : x ! x est dérivable sur ]0 ; +∞[ et ∀x∈ ]0; + ∞ [ f '( x) = = 2 x 2 f ( x) 1 . f est donc bien une solution particulière de l’équation différentielle y ' = 2y
Déterminer les fonctions, dérivables sur R, solutions de l’équation différentielle : y ' + 2y = 0. Même question avec : 4y + 3y ' = 0. y '+ 2 y = 0 ⇔ y ' = −2 y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : avec C∈R. 4 4 y + 3 y ' = 0 ⇔ y ' = − y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 3 x ! Ce−2 x ,

J

x!

4 − x Ce 3

,

avec C∈R.

1)

Montrer qu’il existe exactement une fonction f, dérivable sur R, solution de l’équation 2y' = 5y et telle que f '(0) = 1. 5 2 y ' = 5 y ⇔ y ' = y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 2 fk : x ! f k' (0) = 1 ⇔
5 x ke 2

,

avec k∈R.

5 5 2 f k (0) = 1 ⇔ ke0 = 1 ⇔ k = . La fonction f, dérivable sur R, solution de 2 2 5
5

2 x l’équation 2y' = 5y et telle que f '(0) = 1, est donc la fonction x ! e 2 . 5

1!

Déterminer les fonctions, dérivables sur R, solutions de l’équation différentielle : y ' − 5y + 1 = 0. y '− 5 y + 1 = 0 ⇔ y ' = 5 y − 1 . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : x ! Ce5 x −

−1 1 = Ce5 x + , 5 5

avec C∈R.

1@

Déterminer la solution de l’équation différentielle 2y' − 3y − 7 = 0 qui vérifie y(0) = 5. 3 7 2 y '− 3 y − 7 = 0 ⇔ y ' = y + . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 2 2 7 3 3 x x 2 − 2 = ke 2 − 7 , f k