Lycée D.Diderot
Devoir surveillé numéro 3 Terminale S2

Mathématiques

Année scolaire 2009/2010 Durée : 2 heures vendredi 20 novembre 2009
6 points

Exercice 1

 1   an+1 = (2an + bn ) 3 On dénit les suites (an ) et (bn ) par a0 = 1, b0 = 7 et 1   b (an + 2bn ) n+1 = 3 →). Pour tout n ∈ N, on considère les points A et B − Soit D une droite munie d'un repère (O ; ı n n d'abscisses respectives an et bn .

1. Placez les points A0 , B0 , A1 , B1 , A2 et B2 . 2. Soit (un ) la suite dénie par un = bn − an pour tout n ∈ N. Démontrez que (un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimez un en fonction de n. 3. Comparez an et bn . Étudiez le sens de variation des suites (an ) et (bn ). Interprétez géométriquement ces résultats. 4. Démontrez que les suites (an ) et (bn ) sont adjacentes. 5. Soit (vn ) la suite dénie par v = an + bn pour tout n ∈ N. Démontrez que (vn ) est une suite constante. En déduire que les segments [An Bn ] ont tous le même milieu I. 6. Justiez que les suites (an ) et (bn ) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.

Exercice 2
On considère la suite (un ) dénie par u0 = 1 un+1 = un + 2n + 3 pour tout entier naturel n.

4 points

1. Étudier la monotonie de la suite (un ). 2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2 . (b) Quelle est la limite de la suite (un ) ? 3. Conjecturer une expression de un , en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

C.LEMOINE

Page 1 sur 2

Lycée D.Diderot

Mathématiques

Année scolaire 2009/2010

Pour tout entier naturel n, on dénit sur R la fonction numérique fn par : f0 (x) = 1 xn et pour n entier naturel non nul fn (x) = . 1 + x2 1 + x2

Exercice 3

:

10 points

On note Γn , la courbe représentative de fn , dans le plan rapporté à un repère orthonormal O, i , j , unité graphique : 4 cm.
Partie A

→ → − −

1. (a) Étudier les limites de f1 en +∞ et en