Exercices sur le raisonnement par récurrence
Exercice 1 : Soit  nv la suite définie par :  0
0;1v  et
1
1
2
n n v v n


  
a) Prouver par récurrence la propriété P : 0 1n nv 
b) Prouver que  nv est croissante.
c) On pose
0
cosv   avec π 0;
2
 
 
  , montrer par récurrence que cos
2
n nv
 
  
  Exercice 2 : Prouver par récurrence que, 2, 2n n n    est un nombre pair.
Exercice 3 : Soit la suite  nu définie par :
1
1u  et
1
,
1
n n n u n u u   


a) Calculer les premiers termes de la suite.
b) Conjecturer une expression pour le terme général nu
c) Prouver cette conjecture par récurrence. Exercice 4 : Prouver par récurrence que, , 4 6 1nn n    est divisible par 9.
Exercice 5 : Démontrer par récurrence que, *n  ,     π cos cos
2
n x x n
 
  
 …afficher plus de contenu…

La propriété est initialisée et héréditaire : par récurrence, 1n  , 3 2n n est un multiple de 3
3) 23 1n  est un multiple de 8 Initialisation : 2 0 03 1 3 1 1 1 0       donc la propriété est initialisée Hérédité : supposons qu’il existe un rang n tel que 23 1n  est un multiple de 8 ceci implique-t-il que
2 1
3 1 n 
 
 

 est un multiple de 8?    
2 1 2 2 2 2 2 2 2 223 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 8 n n n nn
 
 
 
                Par hypothèse, la première parenthèse est un multiple de 8, de même pour …afficher plus de contenu…

La propriété est initialisée et héréditaire : par récurrence, n  , 23 1n  est un multiple de 8 4) 6 23 2n  est divisible par 7 Initialisation : 6 0 23 2 9 2 7      donc la propriété est initialisée Hérédité : supposons qu’il existe un rang n tel que 6 23 2n  est divisible par 7 ceci implique-t-il que
 16