Raisonnement par récurrence corr exos.dviCorrection : raisonnement par récurrence www.bossetesmaths.com �
Exercice 1
∀n ∈N, on note Pn la propriété : 32n −2n est divisible par 7.
Initialisation : pour n = 0 :
32×0 −20 = 30 −1= 1−1= 0= 7×0 divisible par 7 donc P0 est vraie.
Hérédité : supposons qu’il existe un entier n Ê 0 tel que Pn est vraie, c’est-à-dire tel que 32n −2n est divi- sible par 7. Ainsi il existe un entier (relatif) k tel que 32n −2n = 7k, d’où 32n = 7k+2n.
Montrons qu’alors Pn+1 est vraie, c’est-à-dire que 32(n+1)−2n+1 est divisible par 7.
32(n+1)−2n+1 = 32n+2−2n+1 = 32×32n−2×2n = 9× (7k+2n)−2×2n = 9×7k+9×2n−2×2n = 7×9k+7×2n
= 7(9k+2n) avec 9k+2n ∈Z donc 32(n+1)−2n+1 est divisible par 7 et …afficher plus de contenu…

∀n ∈N, on note Pn la propriété : 2É un < 3.
Initialisation : pour n = 0 : u0 = 2 donc 2É u0 < 3 et P0 est vraie.
Hérédité : supposons qu’il existe un entier n Ê 0 tel que Pn est vraie, c’est-à-dire tel que 2É un < 3.
Montrons qu’alors Pn+1 est vraie, c’est-à-dire que 2É un+1 < 3.
2 É un < 3 ⇒ 7 É un + 5 < 8 ⇒ 2 É p 7 É p un +5 < p 8 < 3 (car la fonction racine carrée est …afficher plus de contenu…

Conclusion : ∀n ∈N, 2É un < 3.
Correction : raisonnement par récurrence - www.bossetesmaths.com - © Corinne Huet�
Exercice 4
∀n Ê 1, on note Pn la propriété : 1×2+2×3+ . . .+n(n+1)= n(n+1)(n+2) 3
.
Initialisation : pour n = 1 :
1×2= 2 et
1× (1+1)× (1+2)
3
=
2×✓3
✓3
= 2 donc P0 est vraie.
Hérédité : supposons qu’il existe un entier n Ê 0 tel que Pn est vraie, c’est-à-dire tel que 1×2+2×3+ . . .+n(n+1)= n(n+1)(n+2) 3
.
Montrons qu’alors Pn+1 est vraie, c’est-à-dire que 1×2+2×3+. . .+n(n+1)+(n+1)(n+2)=
(n+1)(n+2)(n+3)
3
.
1×2+2×3+ . . .+n(n+1)+ (n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2) 3
+ (n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2) 3
+
3(n+1)(n+2)
3
= n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2) 3
=
(n+1)(n+2)(n+3)
3
et Pn+1 est vraie.
Conclusion : ∀n Ê 1, 1×2+2×3+ . . .+n(n+1)=