Chapitre 1 : Fonctions polynômes du second degré

I. Rappels
Définition : f est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombre a, b et c tels que pour tout x∈R : fx=ax2+bx+c où a, b et c sont les coefficients de polynômes
Théorème : Le tableau de variation de la fonction f est :

1er cas : a>0

2e cas : a<0

En particulier, la fonction f admet un extremum en x=α
Théorème 2 : Dans un repère ortho normal (O ; I ; J), la courbe représentative de la fonction polynôme du second degré fest une parabole dans le sommet S a pour abscisse x=α. Cette parabole a pour axe de symétrie la droite x=α.

1er cas : a>0

2e cas : a<0

Exemples :
Les fonctions f, g et h sont définies sur R tels que : fx=xx-2 gx=2x-32-5 hx=x2-6x+5 Pour fx : a=1 ;b=-2 ;c=0
Pour g(x) : a=2 ;b=-12 ;c=13
Pour hx : a=1 ;b=-6 ;c=5 f(x) est sous la forme factorisé. Cette forme donne les intersections de la fonction avec l’axe des abscisses ainsi que l’abscisse du sommet. g(x) est sous la forme canonique. Cette forme donne les coordonnées du sommet S(3 ; 5). f(x) est sous la forme développé. Cette forme ne donne que l’ordonnée à l’origine. II. Trinôme et équation du second degré
Théorème 3 : Tout trinôme du second degré Px=ax2+bx+c avec a≠0 peut s’écrire sous la forme Px=a(x-α)2+β. Cette écriture s’appelle la forme canonique.
Exemple : x2+4x+9=(x+2)2+5 avec α=-2 et β=5 x2-6x+2=(x-3)2-7 avec α=3 et β=-7 x2+x-1=(x+0,5)2-1,25 avec α=-0,5 et β=-1,25
3x2+12x+1=3(x+2)2-11 avec α=-2 et β=-11
4x2+7x-8=4x+782+19316 avec α=-78 et β=19316
Preuve :
Px=ax2+bx+c
Px=ax2+bx1+ca
Px=ax2+2bx2a+ca
Px=ax2+2bx2a+b24a2-b24a2+ca
Px=ax+b2a-b24a+ca)
Px=ax+b2a2+-b2+4ac4a
Où α=-b2a et β=-b2+4ac4a
Le nombre b2+4ac s’appelle le discriminant du polynôme et se note ∆. De fait, α=-b2a ; β=-∆4a2 et ∆=b2-4ac. III. Racines et factorisation d’un polynôme du second degré

Théorème 4 : Soit Px=ax2+bx+c et ∆ sont discriminant, a) Si ∆<0, alors Px