Fonctions polynomes

Pages: 4 (804 mots) Publié le: 7 octobre 2012
Chapitre 1 : Fonctions polynômes du second degré

I. Rappels
Définition : f est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombre a, b et c tels que pour tout x∈R :
fx=ax2+bx+coù a, b et c sont les coefficients de polynômes
Théorème : Le tableau de variation de la fonction f est :

1er cas : a>0

2e cas : a<0

En particulier, la fonction f admet unextremum en x=α
Théorème 2 : Dans un repère ortho normal (O ; I ; J), la courbe représentative de la fonction polynôme du second degré fest une parabole dans le sommet S a pour abscisse x=α. Cetteparabole a pour axe de symétrie la droite x=α.

1er cas : a>0

2e cas : a<0

Exemples :
Les fonctions f, g et h sont définies sur R tels que :
fx=xx-2
gx=2x-32-5
hx=x2-6x+5
Pour fx : a=1;b=-2 ;c=0
Pour g(x) : a=2 ;b=-12 ;c=13
Pour hx : a=1 ;b=-6 ;c=5
f(x) est sous la forme factorisé. Cette forme donne les intersections de la fonction avec l’axe des abscisses ainsi que l’abscisse dusommet.
g(x) est sous la forme canonique. Cette forme donne les coordonnées du sommet S(3 ; 5).
f(x) est sous la forme développé. Cette forme ne donne que l’ordonnée à l’origine.
II. Trinôme etéquation du second degré
Théorème 3 : Tout trinôme du second degré Px=ax2+bx+c avec a≠0 peut s’écrire sous la forme Px=a(x-α)2+β. Cette écriture s’appelle la forme canonique.
Exemple :x2+4x+9=(x+2)2+5 avec α=-2 et β=5
x2-6x+2=(x-3)2-7 avec α=3 et β=-7
x2+x-1=(x+0,5)2-1,25 avec α=-0,5 et β=-1,25
3x2+12x+1=3(x+2)2-11 avec α=-2 et β=-11
4x2+7x-8=4x+782+19316 avec α=-78 et β=19316
Preuve :Px=ax2+bx+c
Px=ax2+bx1+ca
Px=ax2+2bx2a+ca
Px=ax2+2bx2a+b24a2-b24a2+ca
Px=ax+b2a-b24a+ca)
Px=ax+b2a2+-b2+4ac4a
Où α=-b2a et β=-b2+4ac4a
Le nombre b2+4ac s’appelle le discriminant du polynôme et senote ∆. De fait, α=-b2a ; β=-∆4a2 et ∆=b2-4ac.
III. Racines et factorisation d’un polynôme du second degré

Théorème 4 : Soit Px=ax2+bx+c et ∆ sont discriminant,
a) Si ∆<0, alors Px...
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