18/02/2013

TD 16 : Espace euclidien Rn
M P SI:2012−2013

Exercice

1

On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ .
a) b) c)

Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées de u = (1, 2, −1, −2) dans cette base . Décomposer u en la somme d'un élément de E et d'un élément de E ⊥ . Vérier le théorème de Pythagore .
2

Exercice
4

Dans R , on considère les vecteurs u1 = (1, 2, −1, −2), u2 = (2, 3, 0, −1), u3 = (5, −2, −5, −2) et u4 = (8, 10, −10, 4)·

Montrer qu'ils forment une base de R4 . En utilisant l'algorithme de Gram-Schmidt , donner une base orthonormée de R4 .

Exercice
Déterminer

3

Soit E le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs v1 = (1, −1, 2) et v2 = (1, 0, 1)·. 1. une équation de E , 2. une base orthonormale de E , 3. une base orthonormale de E ⊥ , 4. la projection orthogonale de (1, 1, 1) sur E .

Exercice

4

Soit F un sous-espace vectoriel de Rn de dimension p . 1. Montrer que pour tout x ∈ Rn , il existe un unique élément y ∈ F tel que x − y ∈ F ⊥ . On pose alors PF (x) = y . 2. Montrer que pour tout x ∈ Rn , z ∈ F, x − z ≥ x − PF (x) . 3. Dans R3 , on considère le vecteur b = (b1 , b2 , b3 ) et le plan Q donné par l'équation b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0. Décrire Q⊥ . En déduire la distance entre un point a et Q . 4. Soit {e1 , e2 , ...., ep } une base orthogonale de F . Montrer que p ∀x ∈ Rn , PF (x) = i=1 x, ei ei · ei , ei

Exercice

5

Soit E = R3 muni du produit scalaire canonique. Soit F le plan vectoriel déni par l'équation x + y + z = 0 . 1

a) b) c)

Déterminer une base orthonormale de F . Déterminer F ⊥ et en donner une base orthonormale. Déterminer le