la stérilité dans soleil des independances

Pages: 7 (1672 mots) Publié le: 12 décembre 2013
PRIMITIVES
Introduction
On considère la fonction affine f définie par f(x) = 2x + 1
Soit D la droite représentant f dans un repère orthonormal.
Soient A et B deux points de D et soient A' et B' les projetés
orthogonaux de A et B sur l'axe Ox.

B

On suppose que A et B ont pour abscisses respectives 1 et 2.
Le quadrilatère ABB'A' a deux cotés parallèles et un angle
droit, donc ABB'A'est un trapèze rectangle.
L'aire

A

A d'un trapèze de bases b et B et de hauteur h est égale,

en unités d'aire, à

B + b x h.
2

Donc l'aire du trapèze ABB'A' est :
c'est-à-dire

A=3+5x1
2

donc

A = AA' + BB' x A'B'
2

A'

B'

A=4

On considère maintenant les points A et B d'abscisses
respectives x1 et x2 , avec x1 < x2 ; f(x1) > 0 et f(x2) > 0.
ABB'A' est untrapèze rectangle.
Son aire, en unités d'aire est :

B

A = AA' + BB' x A'B'

2
Sachant que A et B sont sur la droite D, leurs ordonnées
respectives sont f(x1) = 2x1 + 1 et f(x2) = 2x2 + 1
On a donc AA' = f(x1) ; BB' = f(x2) et A'B' = x2 - x1
f(x1) + f(x2)
x (x2 - x1)
2
2x + 1 + 2x2 + 1
A= 1
x (x2 - x1)
2
A = (x1 + x2 + 1)(x2 - x1)

A=

A

A = x1x2 - (x1)2 + (x2)2 - x2x1 + x2 - x1A = (x2)2 + x2 - (x1)2 - x1
A = (x2)2 + x2 - [(x1)2 + x1]

Donc

A'

B'

Si on appelle g la fonction définie sur IR par g(x) = x2 + x , on
peut écrire A = g(x2) - g(x1) .
On peut remarquer que g est dérivable sur IR et que pour tout x ∈ IR , on a
La fonction g est donc une fonction dont la dérivée est f.

g'(x) = 2x + 1 = f(x)

On dit que g est une primitive de f.

DéfinitionSoit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I, toute fonction F définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f.

Exemple
La fonction f définie sur IR par f(x) = 2x a pour primitive F définie sur IR par F(x) = x2 .
En effet F est dérivable sur IR et on a F' = f .
On aurait pu choisir F définie par F(x) = x2 + 1 ou F(x) = x2 - 5 ou plus généralement, si kest une
2
constante réelle, F(x) = x2 + k . Une fonction n'a pas une seule primitive.
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TS − Primitives

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Exercice 01

(voir réponses et correction)

f est une fonction définie sur IR. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de f.
a) f(x) = 2
b) f(x) = x
c) f(x) = 5x
d) f(x) = - 4x2
e) f(x) = x2 - 3x + 2

Exercice 02

(voir réponseset correction)

f est une fonction définie sur IR. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de f.
a) f(x) = -2x2
b) f(x) = 3x + 5
c) f(x) = 1 x2
d) f(x) = 2x5
e) f(x) = x - 3
2
2

Propriété

(voir démonstration 01)

Si F0 est une primitive de f sur un intervalle I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des
fonctions F de la forme F = F0 + k, avec k ∈IR.

Exercice 03

(voir réponses et correction)

Pour chacune des fonctions f donner l'ensemble des primitives de f sur l'intervalle I.
a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 I = IR
b) f(x) = -x2 + 1 I = IR
1
I = ]0 ; +∞[
d) f(x) = e x
I = IR
c) f(x) =
x

Exercice 04

(voir réponses et correction)

Soit f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x - 1 .
x2
Déterminer toutes les primitives de f sur ]0; +∞[. Existe-t-il une primitive F de f telle que F(1) = 2 ?

Propriété

(voir démonstration 02)

Soit f une fonction ayant des primitives sur un intervalle I ; soit x0 ∈ I et y0 ∈ IR .
Il existe une et une seule primitive F de f prenant la valeur y0 en x0 c'est-à-dire telle que F(x0) = y0 .

Remarque
On admettra que toute fonction continue sur un intervalle I a des primitives sur I.Certaines fonctions non continues peuvent aussi avoir des primitives.

Exercice 05

(voir réponses et correction)

On considère f définie sur IR par f(x) = sin x . Déterminer la primitive de f sur IR prenant la valeur 0 en 2.

Exercice 06

(voir réponses et correction)

On étudie en fonction du temps t le déplacement d'une balle dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
À chaque...
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