Le dévellopement durable

Pages: 2 (451 mots) Publié le: 5 janvier 2014
FONCTIONS DÉRIVÉES
I.

Savoir calculer une dérivée :
• Exemple : Calculer la dérivée f ′(x ) dans chacun des cas suivants :
f (x ) = 3x 4 + 5x − 1

g( x ) =

3
x

h( x ) =

• Méthode :On utilise les formules du calcul des dérivées.

3
x2

k ( x) =

2x + 1
x2

f(x)

f '(x)

f(x)

f '(x)

ax + b
axn
1
x

a
naxn-1
1
− 2
x
1
2 x

u(x) + v(x)
u.v
1
uu
v

u'(x) + v'(x)
u'.v + u.v'
u′
− 2
u
u′v − uv ′
v2

x

• Solution :
f (x ) = 3x 4 + 5x − 1 ⇒ f ′(x ) = 12x 3 + 5
3
3
g( x ) = ⇒ g′( x ) = − 2
x
x
3
3(2 x )
6x
h( x ) = 2 ⇒h′( x ) = − 2 2 ⇒ f ′( x ) = − 4
x
x
(x )

2(x 2 ) − (2 x + 1)(2 x )
2x + 1
2x2 − 4x2 − 2x
k ( x) =
⇒ k ′( x ) =
⇒ k ′( x ) =
x2
x4
(x 2 )2
−2 x 2 − 2 x
−2 x( x + 1)
⇒ k ′( x ) =
⇒ k ′( x) =
x4
x4

II. Établir le tableau de variation d'une fonction avec la dérivée :
• Exemple : Étudier les variations de la fonction définie par f (x ) = x 2 − 2x
• Solution :
f ′(x ) = 2x − 2D'où
f ′(x ) > 0 ⇔ 2x − 2 > 0 ⇔ x > 1
x > 1 ⇒ f ′(x ) > 0 ⇒ f (x ) ↑
x < 1 ⇒ f ′(x ) < 0 ⇒ f (x ) ↓
Comme on a
f (1) = −1
on obtient le tableau suivant :
x -∞
f ′(x)
f (x)

+∞

1


0+∞

4

3

2

1

+
+∞

0
-1

0
-1

-1
-2

FI_DRIV.DOC

1

2

3

III. Déterminer un maximum ou un minimum avec la dérivée :

Coût C(q)

• Exemple : dans uneentreprise, le coût de stockage d'une marchandise en fonction de la
90000
quantité q achetée est donné par la formule C (q ) = 400q +
pour q ∈ [1;50].
q
Quelle est la valeur de q qui rend minimale lecoût de la gestion du stock ?
• Solution :
90000
On étudie les variations de la fonction C (q ) = 400q +
q
2
2
90000 400q − 90000
q − 225
100000
C′ (q ) = 400 −
=
= 400
2
2
2
q
q
q90000
(q + 15)(q − 15)
80000
C′ (q ) = 400
2
q
70000
60000
Donc C′(q ) > 0 ⇔ (q + 15)(q − 15) > 0
50000
Et
q > 0 ⇒ C′(q ) > 0 ⇔ q > 15
40000
On obtient le tableau de variations suivant :...
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