LES LIMITES
Introduction
Considérons la fonction ¦ définie sur ]1 ; +¥[ par :
¦(x) =

3x - 4 x -1

· Calculons ses valeurs (arrondies à 10-5 près par défaut) lorsque la variable x devient de plus en plus grande : x 2

5

10

50

100

1 000

10 000

¦(x)

2

2,75

2,88889

2,97959

2,98989

2,99899

2,99989

On constate que lorsque les nombres x deviennent de plus en plus grands, les nombres ¦(x) s'approchent aussi près que voulu du nombre 3. On dira que la limite de ¦ en +¥ est égale à 3.
· Calculons maintenant les valeurs de la fonction lorsque la variable x s'approche de plus en plus de la valeur interdite 1 : x 0,5

0,8

0,9

0,99

0,999 0,9999

¦(x)

5

8

13

103

1003 10003

1

1,0001 1,001

1,01

1,1

1,2

1,5

2

-9997 -997

-97

-7

-2

1

2

On constate, cette fois, que selon le côté dont on s'approche de la valeur interdite 1 (droite ou gauche), les nombres ¦(x) n'ont pas du temps le même comportement (puisque à droite les nombres ¦(x) deviennent de plus en plus proche de +¥ tandis qu'à gauche ils deviennent de plus en plus proches de -¥). On dira que la fonction ¦ n'a pas de limite en 1.
On pourra cependant nuancer en disant : la limite de ¦ en 1 à gauche est égale à +¥ la limite de ¦ en 1 à droite est égale à -¥

Évidemment, toutes ces considérations purement calculatoires, peuvent avoir un appui graphique : y À gauche de la valeur interdite
1, les nombres ¦(x) tendent vers +¥.

7
En -¥, les nombres ¦(x) tendent vers 3.

En +¥, les nombres ¦(x) tendent vers 3.

6
5
C¦
3
C¦

2
1
-5

-4

-3

-2

-1

O
-1

1

2

3

4

5

6

x

-2
-3

À droite de la valeur interdite
1, les nombres ¦(x) tendent vers -¥.

-4

Limites

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

I) DÉFINITIONS
1. Limite d'une fonction en +¥
Soit ¦ une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a ; +¥[.