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E
R
E
Fiche exercices : Inéquations du 2nd degré
CORRECTION
Exercice 1
On considère la suite (𝑢𝑛) définie par 𝒖𝒏 = 𝒏(𝒏 − 𝟐)². Déterminer son sens de variation.
Pour cela, nous devons calculer 𝒖𝒏+𝟏 − 𝒖𝒏 et étudier son signe
 𝑢𝑛+1 = (𝑛 + 1)((𝑛 + 1) − 2)² = (𝑛 + 1)(𝑛 − 1)² on peut développer d’abord (n-1)² ou … = (𝑛 + 1)(𝑛 − 1)(𝑛 − 1) astuce : faire apparaître (a+b)(a-b) …afficher plus de contenu…

= (𝑛² − 1)(𝑛 − 1) qui donne ensuite a²-b² = 𝑛3 − 𝑛2 − 𝑛 + 1
 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑛3 − 𝑛2 − 𝑛 + 1 − 𝑛(𝑛 − 2)² = 𝑛3 − 𝑛2 − 𝑛 + 1 − 𝑛(𝑛2 − 4𝑛 + …afficher plus de contenu…

= 𝑛3 − 𝑛2 − 𝑛 + 1 − (𝑛3 − 4𝑛² + 4𝑛) = 𝑛3 − 𝑛2 − 𝑛 + 1 − 𝑛3 + 4𝑛2 − 4𝑛 = 3𝑛2 − 5𝑛 + 1
 Etude du signe de 3𝑛2 − 5𝑛 + 1 qui est une fonction du 2nd degré donc :
∆= (−5)2 − 4 × 3 × 1 = 25 − 12 = 13 > 0 donc le polynôme admet 2 racines :
𝑛1