Optimisation d'une fonction à deux variables

Pages: 11 (2633 mots) Publié le: 14 octobre 2014
1-611-09 Modélisation et Optimisation

Notes de la séance 2

2.1 Introduction
Dans de nombreux contextes, l'utilisation de fonctions comportant une seule variable n'est pas
vraiment réaliste. Par exemple, on peut étudier la production avec deux facteurs, où x représente
la production dans la compagnie et y celle en sous-traitance, avec un coût total de production
donné par la fonction f (x, y) .
Avec une variable, le graphe de f (x) est une courbe dans l’espace à 2 dimensions. Avec
2 variables, le graphe de f ( x, y) est une surface dans l’espace à 3 dimensions.
x ln(x)

60
3

40
2
1

20

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

0,5

3

0
-5
-3
-1
1
3
5

-1
x

-5

Les graphiques en trois dimensions ne sont pas faciles à dessiner à la main.


On peut utiliser des courbes de niveau comme pour les cartes topographiques. On fait
une représentation graphique sur un plan (deux dimensions) à l’aide de plusieurs courbes.
En production, les courbes de niveau sont appelées courbes isoquantes. Pour les
fonctions d’utilité, elles se nomment courbes d’indifférence.
Une autre possibilité consiste à utiliser un logiciel comme Excel (ou unautre).

2.2 Dérivée partielle et gradient
Une dérivée partielle indique le taux de variation d’une fonction correspondant à un
accroissement marginal d’une seule des deux variables, l'autre étant considérée comme
constante. On peut dériver par rapport à x ou à y :





Pour f ( x, y) , on définira les deux dérivées partielles par :

f x, y   f x ( x, y ) où x est la variable parrapport à laquelle on dérive.
x

f x, y   f y ( x, y ) où y est la variable par rapport à laquelle on dérive.
y
Si on écrit X  ( x, y) , alors f ( x, y) devient f ( X ) et f x( x, y) devient f x( X ) .

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Notes de la séance 2

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Notes de la séance 2

Définition

Si f est dérivable, alors on appelle gradient de fen un point X  ( x, y) le vecteur
f ( X )   f x ( X ) , f y ( X ).
Le gradient de f ( x, y) , c'est le taux de variation de f ( x, y) pour un accroissement marginal
des variables. C’est simplement le vecteur des deux dérivées partielles.
Exemple 2.1
f ( x, y)  3x 2  2 xy  4 y 2  100

f x ( x, y)  6 x  2 y et f y ( x, y)  2 x  8 y ; le gradient est f ( x, y)  6 x  2 y, 2 x  8 y  .

2.3 Conditions d’optimum du premier ordre
Avec une seule variable, si f  ( x * )  0 , alors x * est un point stationnaire. En fait, la condition
nécessaire est que x  f '( x* )  0, x , ce qui est équivalent à f  ( x * )  0 . Avec deux
*
*
variables, il faut que l'on ait X f ( X * )  0, X , ce qui demande que f1( x1 , x2 )  0 et
*
*
*
*
f 2 ( x1 , x2 ) 0 . Dès lors, X *  ( x1 , x2 ) est un point stationnaire si le gradient est nul en X * :

f ( X * )  (0, 0).

Théorème 2.1 : Condition d’optimum du premier ordre
Soit f : A   et soit X *  ( x* , y * )  A un optimum local de f. Si les dérivées
partielles premières de f existent en X * , alors elles sont toutes égales à zéro,
C’est-à-dire qu'on doit avoir f ( X * )  (0, 0).
Commedans le cas d'une fonction à une variable, un optimum local est atteint en

un point stationnaire
(le gradient est nul : f ( X * )  (0 , 0) );




un point critique (au moins une des deux dérivées partielles n’existe pas);
une borne.

Remarque : En ce qui concerne l’optimisation de fonctions à deux variables, nous
n’étudierons, dans le cadre de ce cours, que les pointsstationnaires.
Exemple 2.2
Trouver les points stationnaires de f ( X )  4 x 2  2 y 2  8x  2 y  1 .

 f x ( X * )  8 x*  8  0  x*  1

 x*  (1, 1 / 2) est le seul point stationnaire .

*
*
*
 f y ( X )  4 y  2  0  y  1 / 2


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Notes de la séance 2

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Exemple 2.3
Trouvons les points stationnaires de...
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