1-611-09 Modélisation et Optimisation

Notes de la séance 2

2.1 Introduction
Dans de nombreux contextes, l'utilisation de fonctions comportant une seule variable n'est pas vraiment réaliste. Par exemple, on peut étudier la production avec deux facteurs, où x représente la production dans la compagnie et y celle en sous-traitance, avec un coût total de production donné par la fonction f ( x, y) .
Avec une variable, le graphe de f (x) est une courbe dans l’espace à 2 dimensions. Avec
2 variables, le graphe de f ( x, y) est une surface dans l’espace à 3 dimensions. x ln(x)

60
3

40
2
1

20

0
0

0.5

1

1.5

2

2.5

0,5

3

0
-5
-3
-1
1
3
5

-1 x -5

Les graphiques en trois dimensions ne sont pas faciles à dessiner à la main.




On peut utiliser des courbes de niveau comme pour les cartes topographiques. On fait une représentation graphique sur un plan (deux dimensions) à l’aide de plusieurs courbes.
En production, les courbes de niveau sont appelées courbes isoquantes. Pour les fonctions d’utilité, elles se nomment courbes d’indifférence.
Une autre possibilité consiste à utiliser un logiciel comme Excel (ou un autre).

2.2 Dérivée partielle et gradient
Une dérivée partielle indique le taux de variation d’une fonction correspondant à un accroissement marginal d’une seule des deux variables, l'autre étant considérée comme constante. On peut dériver par rapport à x ou à y :





Pour f ( x, y) , on définira les deux dérivées partielles par :

f x, y   f x ( x, y ) où x est la variable par rapport à laquelle on dérive.
x
 f x, y   f y ( x, y ) où y est la variable par rapport à laquelle on dérive.
y
Si on écrit X  ( x, y) , alors f ( x, y) devient f ( X ) et f x( x, y) devient f x( X ) .

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Notes de la séance 2

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Notes de la séance 2

Définition

Si f est dérivable, alors on appelle gradient de f