Optimisation des fonctions de plusieurs variables
2.6 Extrema locaux et globaux
On veut étudier le comportement d’une fonction de plusieurs variables.
Il est plutôt naturel de se demander si une telle fonction admet des va- leurs extrémales : des minima (valeurs les plus petites) ou des maxima
(valeurs les plus grandes). On les appelle extrema de la fonction. Les extrema d’une fonction peuvent être globaux ou locaux . Un minimum
(resp. maximum) global d’une fonction est la plus petite ( resp. la …afficher plus de contenu…

Un minimum (resp. maximum) local d’une fonction est la plus petite ( resp. la plus grande ) valeur que la fonction peut attendre lorsque on la regarde localement dans un ouvert U de Rn.
Définition 2.6.1 [ Extrema globaux] Soient D un ouvert de Rn, f :
D 7! R et x0 2 D.
On dit que x0 est un point de minimum global x0 et que f(x0) et un minimum global de la fonction f si f(x0)  f(x) 8x 2 D
On dit que x0 est un point de maximum n x0 et que f(x0) et un maximum global de la fonction f si f(x0) � f(x) 8x 2 D
3334 2.7. Optimisation d’une fonction différentiable
Définition 2.6.2 [ Extrema locaux] Soient D un ouvert de Rn, f : D 7!
R et x0 2 D.
On dit que x0 est un point de minimum local x0 et que f(x0) et un minimum loacl de la fonction f si il existe r 2 R, r > 0, tel que
B
r
(x0) ⇢ D et : f(x0)  f(x) 8x 2 B
r …afficher plus de contenu…

Comme dans le cas de fonctions d’une variable, on peut définir les points critiques d’une fonction de plusieurs variables. Il seront les points pour lesquelles la différentielle d’ordre 1 est nulle.
Définition 2.7.1 [ Points critiques ] Soient D un ouvert de Rn, f : D 7!
R et x0 2 D. On dit que x0 est un point critique de f si Df(x0) = 0.
Théorème 2.7.2 [Condition nécessaire d’extremum local] Soient D un ouvert de Rn, f : D 7! R une fonction différentiable et x0 2 D. Si x0 est un point de maximum ou minimum local pour f alors il est un point critique pour f .
ATTENTION : la réciproque est fausse, même pour fonctions d’une variable. Une fois qu’on a déterminé les points critiques d’une